Линейные уравнения первого порядка

Уравнение Бернулли

Определения 12.11.

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида где - заданные непрерывные функции на интервале (a, b).

Через каждую точку (x₀, y₀) полосы проходит одна и только одна интегральная кривая данного уравнения, определенная на всем интервале

(a, b). Всякое решение линейного уравнения есть частное, так что оно особых решений не имеет.

Если f(x)≡0 на (a, b), то уравнение называется линейным однородным. Оно имеет вид . Однородное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными и имеет общее решение .

Если , то уравнение называется линейным неоднородным.

Общее решение неоднородного линейного уравнения может быть найдено несколькими способами, рассмотрим два из них.

1. Метод подстановки.

Положим , тогда исходное уравнение приводится к виду .

Выберем функции так, чтобы сумма обратилась в нуль. Такт как не равна тождественно нулю (y≡ 0 не является решением уравнения), то должно выполнятся равенство .

Для определения функции получили уравнение, в котором переменные разделяются. Выбрав какое-либо частное решение ,подставим его в уравнение . Для определения функции получим уравнение .

Решим его, разделив переменные. Получим общее решение .

Перемножим найденные функции и , запишем общее решение уравнения : .

Пример 12.10.

Решим дифференциальное уравнение и выделим интегральную кривую, проходящую через точку .

Ищем общее решение уравнения в виде . Подставляя и в уравнение, получим , или . (*)

Функцию найдем из уравнения .

Имеем .

Интегрируя, получим .

Возмем частное решение . Подставляя его в (*), получим уравнение , из которого интегрированием находим функцию : .

Общее решение исходного дифференциального уравнения .

Чтобы выделить нужную интегральную кривую, подставим в общее решение , откуда С= 0.

Решением поставленной задачи Коши служит y=x² (интегральная кривая - парабола).

Пример 12.11.

Решим дифференциальное уравнение .

Перепишем уравненипе в виде . Оно является линейным дифференциальным уравнением относительно неизвестной функции х = х(у). Решим его методом подстановки.

Полагаем , тогда и после подстановки x и x' в уравнение, оно приводится к виду . (**)

Функцию определяем из уравнения .

Из общего решения выберем, например, частное решение и подставим его в уравнение (**), тогда получим или .

Общее решение этого уравения . Пермножая , получим общее решение исходного уравнения .

2. Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа).

По этому методу решение уравнения ищется в виде решения соответствующего однородног уравнения, в котором константу С считают некоторой неизвестной функций от .

Пример 12.12.

Проинтегрируем дифференциальное уравнение .

1. Решим соответствуюшее исходному уравнению однородное линейное уравнение . Его общее решение имеет вид .

2. Ищем общее решение линейного неоднородного уравнения уравнения в виде , где - подлежащая определению неизвестная функция от x. Подставляя y в исходное уравнение для определения получаем уравнение , откуда .

Итак, общее решение неоднородного уравнения .

Определение 12.12.

Уравнением Бернулли называется уравнение , где п≠ 0; 1 (при п= 0 имеем линейное уравнение, а при п= 1 – уравнение с разделяющимеся переменными).

Замечание 12.2.

Интегрируется уравнение Бернулли, как и линейное.

При п> 0 уравнение Бернулли имеет особое решение у≡ 0.

Пример 12.13.

Проинтегрируем дифференциальное уравнение и найдем

интегральную кривую, проходящую через точку .

Положим . Подставляя и в данное уравнение, получим

(***).

Из по разделении переменных имеем , а значит, .

Возмем и подставим его в уравнение (***), тогда получим уравнение .

Проинтегрируем его: , откуда или .

Таким образом, общим решением данного уравнения будет .

Легко показать, что через точку М₀(0;1) проходит кривая .