Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Уравнение Бернулли
Определения 12.11.
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида где - заданные непрерывные функции на интервале (a, b).
Через каждую точку (x0, y0) полосы проходит одна и только одна интегральная кривая данного уравнения, определенная на всем интервале
(a, b). Всякое решение линейного уравнения есть частное, так что оно особых решений не имеет.
Если f(x)≡0 на (a, b), то уравнение называется линейным однородным. Оно имеет вид . Однородное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными и имеет общее решение .
Если , то уравнение называется линейным неоднородным.
Общее решение неоднородного линейного уравнения может быть найдено несколькими способами, рассмотрим два из них.
1. Метод подстановки.
Положим , тогда исходное уравнение приводится к виду .
Выберем функции так, чтобы сумма обратилась в нуль. Такт как не равна тождественно нулю (y≡ 0 не является решением уравнения), то должно выполнятся равенство .
Для определения функции получили уравнение, в котором переменные разделяются. Выбрав какое-либо частное решение ,подставим его в уравнение . Для определения функции получим уравнение .
Решим его, разделив переменные. Получим общее решение .
Перемножим найденные функции и , запишем общее решение уравнения : .
Пример 12.10.
Решим дифференциальное уравнение и выделим интегральную кривую, проходящую через точку .
Ищем общее решение уравнения в виде . Подставляя и в уравнение, получим , или . (*)
Функцию найдем из уравнения .
Имеем .
Интегрируя, получим .
Возмем частное решение . Подставляя его в (*), получим уравнение , из которого интегрированием находим функцию : .
Общее решение исходного дифференциального уравнения .
Чтобы выделить нужную интегральную кривую, подставим в общее решение , откуда С= 0.
Решением поставленной задачи Коши служит y=x2 (интегральная кривая - парабола).
Пример 12.11.
Решим дифференциальное уравнение .
Перепишем уравненипе в виде . Оно является линейным дифференциальным уравнением относительно неизвестной функции х = х(у). Решим его методом подстановки.
Полагаем , тогда и после подстановки x и x' в уравнение, оно приводится к виду . (**)
Функцию определяем из уравнения .
Из общего решения выберем, например, частное решение и подставим его в уравнение (**), тогда получим или .
Общее решение этого уравения . Пермножая , получим общее решение исходного уравнения .
2. Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа).
По этому методу решение уравнения ищется в виде решения соответствующего однородног уравнения, в котором константу С считают некоторой неизвестной функций от .
Пример 12.12.
Проинтегрируем дифференциальное уравнение .
1. Решим соответствуюшее исходному уравнению однородное линейное уравнение . Его общее решение имеет вид .
2. Ищем общее решение линейного неоднородного уравнения уравнения в виде , где - подлежащая определению неизвестная функция от x. Подставляя y в исходное уравнение для определения получаем уравнение , откуда .
Итак, общее решение неоднородного уравнения .
Определение 12.12.
Уравнением Бернулли называется уравнение , где п≠ 0; 1 (при п= 0 имеем линейное уравнение, а при п= 1 – уравнение с разделяющимеся переменными).
Замечание 12.2.
Интегрируется уравнение Бернулли, как и линейное.
При п> 0 уравнение Бернулли имеет особое решение у≡ 0.
Пример 12.13.
Проинтегрируем дифференциальное уравнение и найдем
интегральную кривую, проходящую через точку .
Положим . Подставляя и в данное уравнение, получим
(***).
Из по разделении переменных имеем , а значит, .
Возмем и подставим его в уравнение (***), тогда получим уравнение .
Проинтегрируем его: , откуда или .
Таким образом, общим решением данного уравнения будет .
Легко показать, что через точку М0(0;1) проходит кривая .
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 313 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!