![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Уравнение Бернулли
Определения 12.11.
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида где
- заданные непрерывные функции на интервале (a, b).
Через каждую точку (x0, y0) полосы проходит одна и только одна интегральная кривая данного уравнения, определенная на всем интервале
(a, b). Всякое решение линейного уравнения есть частное, так что оно особых решений не имеет.
Если f(x)≡0 на (a, b), то уравнение называется линейным однородным. Оно имеет вид . Однородное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными и имеет общее решение
.
Если , то уравнение называется линейным неоднородным.
Общее решение неоднородного линейного уравнения может быть найдено несколькими способами, рассмотрим два из них.
1. Метод подстановки.
Положим , тогда исходное уравнение приводится к виду
.
Выберем функции так, чтобы сумма
обратилась в нуль. Такт как
не равна тождественно нулю (y≡ 0 не является решением уравнения), то должно выполнятся равенство
.
Для определения функции получили уравнение, в котором переменные разделяются. Выбрав какое-либо частное решение
,подставим его в уравнение
. Для определения функции
получим уравнение
.
Решим его, разделив переменные. Получим общее решение .
Перемножим найденные функции и
, запишем общее решение уравнения
:
.
Пример 12.10.
Решим дифференциальное уравнение и выделим интегральную кривую, проходящую через точку
.
Ищем общее решение уравнения в виде . Подставляя
и
в уравнение, получим
, или
. (*)
Функцию найдем из уравнения
.
Имеем .
Интегрируя, получим .
Возмем частное решение . Подставляя его в (*), получим уравнение
, из которого интегрированием находим функцию
:
.
Общее решение исходного дифференциального уравнения .
Чтобы выделить нужную интегральную кривую, подставим в общее решение , откуда С= 0.
Решением поставленной задачи Коши служит y=x2 (интегральная кривая - парабола).
Пример 12.11.
Решим дифференциальное уравнение .
Перепишем уравненипе в виде . Оно является линейным дифференциальным уравнением относительно неизвестной функции х = х(у). Решим его методом подстановки.
Полагаем , тогда
и после подстановки x и x' в уравнение, оно приводится к виду
. (**)
Функцию определяем из уравнения
.
Из общего решения выберем, например, частное решение
и подставим его в уравнение (**), тогда получим
или
.
Общее решение этого уравения . Пермножая
, получим общее решение исходного уравнения
.
2. Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа).
По этому методу решение уравнения ищется в виде решения соответствующего однородног уравнения, в котором константу С считают некоторой неизвестной функций от
.
Пример 12.12.
Проинтегрируем дифференциальное уравнение .
1. Решим соответствуюшее исходному уравнению однородное линейное уравнение . Его общее решение имеет вид
.
2. Ищем общее решение линейного неоднородного уравнения уравнения в виде , где
- подлежащая определению неизвестная функция от x. Подставляя y в исходное уравнение для определения
получаем уравнение
, откуда
.
Итак, общее решение неоднородного уравнения .
Определение 12.12.
Уравнением Бернулли называется уравнение , где п≠ 0; 1 (при п= 0 имеем линейное уравнение, а при п= 1 – уравнение с разделяющимеся переменными).
Замечание 12.2.
Интегрируется уравнение Бернулли, как и линейное.
При п> 0 уравнение Бернулли имеет особое решение у≡ 0.
Пример 12.13.
Проинтегрируем дифференциальное уравнение и найдем
интегральную кривую, проходящую через точку .
Положим . Подставляя
и
в данное уравнение, получим
(***).
Из по разделении переменных имеем
, а значит,
.
Возмем и подставим его в уравнение (***), тогда получим уравнение
.
Проинтегрируем его: , откуда
или
.
Таким образом, общим решением данного уравнения будет .
Легко показать, что через точку М0(0;1) проходит кривая .
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 325 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!