Глава VII. Определенный интеграл

7.1. Понятие определённого интеграла. Геометрический и экономический смысл определённого интеграла

Определение 7.1.

Пусть функция определена и ограничена на отрезке [a, b] и – произвольное разбиение этого отрезка на частей (рис. 7.1).

Сумма вида, где называется интегральной суммой функции на отрезке [a, b].

рис. 7.1.

Определение 7.2.

Диаметром разбиения называется наибольшая длина частичного отрезка разбиения, то есть.

Определение 7.3.

Если существует конечный предел суммы при условии, что диаметр разбиения , не зависящий от способа разбиения отрезка интегрирования [a,b], а также от способа выбора точек , то этот предел называется определённым интегралом функции f(x) на отрезке [a, b] (в пределах от до ).

Обозначение:.

В этом случае функция у=f(х) называется интегрируемой на отрезке [a, b] (по Риману), выражение называется подынтегральным выражением, функция – подынтегральной функцией, числа a, b называются нижним и верхним пределами интегрирования соответственно.

Теорема 7.1. (о достаточных условиях интегрируемости)

Непрерывные и кусочно-непрерывные отрезки на [a, b] функции являются интегрируемыми.

Геометрический смысл интеграла.

Геометрически определённый интеграл является алгебраической суммой площадей фигур, составляющих так называемую криволинейную трапецию , ограниченную указанной кривой, прямыми x=a, x=b и осью Ох (рис.7.1). Причем, площади частей, расположенных выше оси берутся со знаком «+», а площади частей, расположенных ниже оси – со знаком «–».

Экономический смысл интеграла.

С помощью определенного интеграла можно найти объем продукции u, произведенной за промежуток времени [ 0 ,T], если производительность производства описывается функцией y = f(t) на этом промежутке времени:

Пример 7.1.

Составить интегральную сумму S_n для функции на отрезке , разделив этот отрезок на равных частей и выбирая точки совпадающими с левыми концами частичных отрезков . Вычислить определённый интеграл как предел интегральных сумм (рис. 7.2).

Рис. 7.2 Рис. 7.3

Имеем и,

откуда.

Следовательно,

=

Таким образом, а значит, .

Пример 7.2.

Найти площадь криволинейного треугольника, ограниченного дугой параболы , осью и вертикальной прямой (рис. 7.3).

Разобьём основание криволинейного треугольника на равных частей с длиной .

Вычислив значение функции в начале каждого промежутка, будем иметь

.

Площади вписанных прямоугольников равны.

Суммируя, получим площадь ступенчатой фигуры

Пользуясь формулой суммы квадратов целых чисел

, находим.

Следовательно, (кв.ед.).

Пример 7.3.

С помощью определенного интеграла найдем дневную выработку u за восьмичасовой рабочий день, если производительность труда описывается формулой y= f (t) = а(-0,2t2 + 1,6t + 3), где tÎ[0,8] – время в часах, а – множитель размерности продукции.

Дневную выработку u можно выразить определенным интегралом

.

7.2. Свойства определённого интеграла

Свойство 1.

Если функции – интегрируемы на [a, b], то функции также интегрируемы на [a, b] и.

Свойство 2.

Если функция интегрируема на [a, b], то функция , где – постоянная, также интегрируема на [a, b] и.

Свойство 3.

Для интегрируемой на [a, b] функции верно равенство:.

Следствие.

Для интегрируемой функции верно равенство.

Свойство 4.

Для любых чисел и интегрируемой функции выполняется

свойство аддитивности определённого интеграла относительно промежутка интегрирования:.

Свойство 5.

Если подынтегральная функция на отрезке интегрирования не меняет знака, то определённый интеграл сохраняет тот же знак, что и функция, то есть: если для всех , то.

Свойство 6. (Интегрирование неравенств).

Если для всех х и интегрируемы на [a, b], то верно неравенство.

Свойство 7.

Если функция интегрируема на [a, b], то верно неравенство

.

Свойство 8. (Оценка интеграла).

Пусть функция интегрируема на [a, b] и для всех , тогда.

Свойство 9. (Теорема о среднем).

Если функция непрерывна на [a, b], то существует точка , такая, что верно равенство.

Свойство 10. (Формула Ньютона–Лейбница).

Пусть непрерывна на , – какая-либо первообразная для неё, тогда.

Пример 7.4.

Оценим значение интеграла, не вычисляя его.

Найдём значения и для подынтегральной функции на отрезке [0, 2]. Для этого найдём стационарные точки.

откуда стационарной точкой на отрезке [0, 2] является точка (). Вычислим значения функции на границе отрезка: , следовательно, .

Таким образом получим 0,5∙2 ≤ ≤ 0,6∙2, или 1 ≤ ≤ 1,2.

Пример 7.5.

Вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница.

Одна из первообразных подынтегральной функции равна , тогда

.

7.3. Основные методы вычисления определённого интеграла

1) Замена переменной в определённом интеграле.

Теорема 7.2.

Если функция непрерывна на отрезке и – функция, непрерывная вместе со своей производной на отрезке , причем a≤φ(t)≤b и φ(α)=a, φ(β)=b, тогда.

Пример 7.6.

Найдем определенный интеграл заменой переменных.

Пусть , тогда и, следовательно,

,.

Таким образом,

.