Интегрирование дифференциальных биномов

Дифференциальным биномом называется выражение .

Интегралы вида берутся в элементарных функциях только в следующих трёх случаях:

а) – целое;

б) – целое.

В этом случае делается подстановка: , где;

в) – целое.

Подстановка: .

Пример 6.28.

Найдем интеграл.

.

Здесь, поэтому имеет место второй случай. Подстановка: , .

Пример 6.29.

Найдем интеграл.

.

Здесь m = 0, n = 4, p = – ,, поэтому имеем третий случай.

Подстановка: ,

=

=

=

4) Интегралы вида.

Интегралы берутся с помощью подстановок Эйлера.

а) Если , то применяется первая подстановка Эйлера: ;

б) Если , то делается вторая подстановка Эйлера: ;

в) Если имеет различные двещественные корни x₁ и x₂, то применяется третья подстановка Эйлера:.

Пример 6.30.

Найдем интеграл.

Так как , то применим первую подстановку Эйлера:

, .

– .