Интегрирование рациональных дробей

Определение 6.3.

Функция называется дробно-рациональной или рациональной дробью, если она представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой стоят многочлены степени m и n соответственно. Для такой функции используют обозначение:.

Если , то дробь называется правильной, если – неправильной.

Если дробь неправильная, то в этой дроби можно выделить целую часть, то есть представить её в виде,

где и – многочлены, причем , а значит, дробь – правильная. Выделение целой части производится делением числителя на знаменатель “уголком ”.

Пример 6.15.

Выделим целую часть дроби.

Разделим “уголком” числитель на знаменатель:

х + 1

х2 + х + 1

Целая часть ; S₁(x) = – 2x + 3.

Таким образом,.

Определение 6.4.

Дроби вида, p - 4q < 0, k ≥ 2,

называются простейшими или элементарными дробями.

Правильную рациональную дробь можно разложить на сумму простейших дробей указанных четырёх типов. Это разложение зависит от разложения на множители .

Пусть, где (x-a)^k соответствует вещественному корню а кратности k, а – паре комплексных сопряженных корней кратности l ().

В разложении на элементарные дроби сомножителю (x-a)^k будет соответствовать сумма k дробей вида

,

а сомножителю – сумма l дробей

.

О нахождении коэффициентов будет изложено ниже.

Пример 6.16.

Не определяя коэффициентов, запишем разложение правильной дробно-рациональной функции

на элементарные дроби.

В разложении знаменателя дроби R(x) на множители соответствует вещественному корню x = 0 кратности 3, x - 4 – вещественному простому корню , – паре простых комплексных сопряженных корней ; – паре комплексных сопряженных корней кратности 2. Тогда разложение на элементарные дроби будет выглядеть так:

.

Рассмотрим интегрирование каждой из простейших дробей.

1) Дробь I типа .

2) Дробь II типа .

3) Дробь III типа , .

Создадим в числителе дифференциал знаменателя, т.е. выражение .

= = =

=

= =

= .

4) Дробь IV типа.

Интегрирование этих дробей после выделения в числителе дифференциала квадратного трехчлена и выделения полного квадрата в этом трехчлене сводится в вычислению двух интегралов

а);

б). (Здесь предварительно сделана замена переменной и .

Этот интеграл вычисляется по рекуррентной формуле:

.

Пусть – правильная рациональная дробь. Чтобы её проинтегрировать, нужно разложить на сумму элементарных дробей, результат интегрирования которых выражается элементарными функциями.

Если – неправильная рациональная дробь, то можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби, об интегрировании которых говорилось выше.

Пример 6.18.

Найдем интеграл.

Под интегралом стоит правильная рациональная дробь. Знаменатель её имеет вещественные простые корни . Разложим подынтегральную дробь на элементарные дроби:.

Приведя к целому виду обе части этого тождества, получим

. Полагая последовательно , получим систему уравнений:

Таким образом,

=

Пример 6.19.

Найдем интеграл.

Под интегралом – правильная рациональная дробь. Разложение на элементарные дроби имеет вид:

,

.

Коэффициенты A, B, C, D можно найти, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях многочленов, стоящих в равенстве слева и справа:

Решив систему уравнений, получим

, откуда

.

Замечание 6.2.

Часть коэффициентов можно найти, подставляя в обе части равенства значения вещественных корней знаменателя. В нашем случае это один вещественный корень х = 1. Имеем 2-5+5-5=2В, откуда В = -1.