![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
1) Метод непосредственного интегрирования
При данном методе неопределенный интеграл можно отыскать с помощью свойств неопределенного интеграла, таблицы интегралов и тождественных преобразований.
Пример 6.1.
Непосредственным интегрированием найдем интеграл
(используется формула 1 таблицы 6.3, где a = -1/4).
Пример 6.2.
Непосредственным интегрированием найдем интеграл
(используется формула 3 таблицы 6.3, где а = 2е).
Пример 6.3.
Непосредственным интегрированием найдем интеграл
(используются формула 15 из таблицы 6.3, где а2 = 8 и свойства 3, 5 из 6.2).
2) Метод подведения под знак дифференциала
Напомним, что , если
. При интегрировании бывает удобно представить
или
, или
,… и т.д.
Это и используется при интегрировании методом подведения под знак дифференциала.
Пример 6.4.
Методом подведения под знак дифференциала найдем интеграл
(здесь ).
Пример 6.5.
Методом подведения под знак дифференциала найдем интеграл
,
(здесь u(x) = cosx, du= (cosx)¢dx = -sinxdx).
Пример 6.6.
Методом подведения под знак дифференциала найдем интеграл
(здесь ).
3) Метод замены переменной
Теорема 6.2.
Если
невозможно найти предыдущими способами, но при замене переменной x=j(t), где функция j(t) непрерывна вместе со своей производной j¢(t) и имеет обратную функцию j--1(t), интеграл вычисляется, то
Пример 6.7.
Найдем интеграл методом замены переменной.
Сделаем подстановку: откуда x = t2 – 1, dx = 2tdt.
.
Пример 6.8.
Найдем интеграл методом замены переменной.
Заменим или ex = t2 + 1, откуда x = ln(t2 + 1), dx =
.
.
4) Метод интегрирования по частям
Теорема 6.3.
Если
и
– непрерывны вместе со своими производными на некотором промежутке Х, то имеет место формула, или
Замечание 6.1.
К u(x) следует относить множители, которые упрощаются при дифференцировании, а к v'(x) относятся множители, которые не сильно усложняются при интегрировании. Формула интегрирования по частям может применяться неоднократно.
Большая часть интегралов, берущихся по частям, может быть разбита на следующие 3 группы:
1) Интегралы вида ;
;
.
Здесь за берется
, а за
-
,
,
соответственно.
Пример 6.9.
Найдем интеграл методом интегрирования по частям
–
.
2) Интегралы вида ,
,
.
В этом случае за u(x) нужно взять трансцендентную функцию ,
,
, а за
-
.
Пример 6.10.
Найдем интеграл методом интегрирования по частям
.
3) Интегралы вида ,
.
Эти интегралы берутся по частям дважды. В процессе решения приходим к уравнению относительно искомого интеграла.
Пример 6.11.
Найдем интеграл методом интегрирования по частям
=
.
Получили уравнение относительно. Решив его, получим
.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 308 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!