Основные методы интегрирования

1) Метод непосредственного интегрирования

При данном методе неопределенный интеграл можно отыскать с помощью свойств неопределенного интеграла, таблицы интегралов и тождественных преобразований.

Пример 6.1.

Непосредственным интегрированием найдем интеграл

(используется формула 1 таблицы 6.3, где a = -1/4).

Пример 6.2.

Непосредственным интегрированием найдем интеграл

(используется формула 3 таблицы 6.3, где а = 2е).

Пример 6.3.

Непосредственным интегрированием найдем интеграл

(используются формула 15 из таблицы 6.3, где а² = 8 и свойства 3, 5 из 6.2).

2) Метод подведения под знак дифференциала

Напомним, что , если . При интегрировании бывает удобно представить или , или ,… и т.д.

Это и используется при интегрировании методом подведения под знак дифференциала.

Пример 6.4.

Методом подведения под знак дифференциала найдем интеграл

(здесь ).

Пример 6.5.

Методом подведения под знак дифференциала найдем интеграл

,

(здесь u(x) = cosx, du= (cosx)¢dx = -sinxdx).

Пример 6.6.

Методом подведения под знак дифференциала найдем интеграл

(здесь ).

3) Метод замены переменной

Теорема 6.2.

Если невозможно найти предыдущими способами, но при замене переменной x=j(t), где функция j(t) непрерывна вместе со своей производной j¢(t) и имеет обратную функцию j^--1(t), интеграл вычисляется, то

Пример 6.7.

Найдем интеграл методом замены переменной.

Сделаем подстановку: откуда x = t² – 1, dx = 2tdt.

.

Пример 6.8.

Найдем интеграл методом замены переменной.

Заменим или e^x = t² + 1, откуда x = ln(t² + 1), dx = .

.

4) Метод интегрирования по частям

Теорема 6.3.

Если и – непрерывны вместе со своими производными на некотором промежутке Х, то имеет место формула, или

Замечание 6.1.

К u(x) следует относить множители, которые упрощаются при дифференцировании, а к v'(x) относятся множители, которые не сильно усложняются при интегрировании. Формула интегрирования по частям может применяться неоднократно.

Большая часть интегралов, берущихся по частям, может быть разбита на следующие 3 группы:

1) Интегралы вида ; ; .

Здесь за берется , а за - , , соответственно.

Пример 6.9.

Найдем интеграл методом интегрирования по частям

–

.

2) Интегралы вида , , .

В этом случае за u(x) нужно взять трансцендентную функцию , , , а за - .

Пример 6.10.

Найдем интеграл методом интегрирования по частям

.

3) Интегралы вида , .

Эти интегралы берутся по частям дважды. В процессе решения приходим к уравнению относительно искомого интеграла.

Пример 6.11.

Найдем интеграл методом интегрирования по частям

= .

Получили уравнение относительно. Решив его, получим

.