Экстремумы функции

Определение 5.13.

Точка М₀ называется точкой минимума (точкой максимума) функции f(M), если в некоторой окрестности О_δ(М₀) точки М₀ выполняется неравенство f(M) > f(M₀) (f(M) < f(M₀)) при всех М О_δ(М₀), М ≠ М₀.

Точки минимума и максимума называются точками экстремума функции f(M), а значения функции в этих точках – экстремумами (минимумами или максимумами).

Теорема 5.3 (необходимые условия экстремума функции).

Если функция f (M) = f (x_1, x₂, …, x_n) имеем в точке М₀ экстремум и существует частная производная (M₀), то эта производная равна нулю.

Точки, в которых все частные производные равны 0, а также те точки, в которых некоторые частные производные не существуют, называются точками, подозрительными на экстремум.

Пример 5.6.

Для функции u = x³ + y² + z² + 12xy + 2z найдем точки, подозрительные на экстремум.

Имеем , откуда получим , .

Таким образом, данная функция имеет две точки, подозрительные на экстремум: М₁(0; 0; -1), М₂(24; -144; -1).

Достаточные условия экстремума сформулируем для функции двух переменных.

Теорема 5.4 (достаточные условия экстремума функции).

Пусть функция f(x, y) определена в некоторой окрестности, точки (х_0, у₀), причем f'_x (x_0, y₀) = f'_y (x₀, y₀) = 0, а также имеем в этой точке непрерывные частные производные второго порядка.

Обозначим f''_xx (x_0, y₀) = A, f''_xy (x_0, y₀) = f''_yx (x_0, y₀) = B, f''_yy (x_0, y₀) = C, тогда:

1) если АС – В² > 0 и А < 0 (A > 0), то в точке (х_0, у₀) функция f(x, y) имеет максимум (минимум);

2) если АС – В² < 0, то в точке (х₀, у₀) функция f(x, y) экстремума не имеет;

3) если АС – В² = 0, то требуется дополнительное исследование.

Пример 5.7.

Исследуем на экстремум функцию z = x³ + y³ – 3xy.

Найдем точки, подозрительные на экстремум:

, откуда получим М₁(0; 0), М₂(1; 1).

Вычислим частные производные второго порядка: z''_xx = 6x, z''_xy = z''_yx = -3, z''_yy = 6y.

1) В точке М₁(0; 0) имеем А = = 0, B = -3, C = 0.

Поскольку АС – В² = -9 < 0, то в точке М₁(0; 0) экстремума нет.

2) В точке М₂(1; 1) получаем А = = 6, B = -3, C = = 6.

Следовательно, АС – В² = 27 > 0, причем, A > 0, а это значит, что в точке М₂(1; 1) данная функция имеет минимум z_min = -1.

Глава VI. Неопределенный интеграл

6.1. Первообразная и неопределённый интеграл

Определение 6.1.

Пусть функции и заданы на некотором множестве Х. Функция F(x) называется первообразной функции f(x), если для всех .

Теорема 6.1.

Если Ф(х) и F(x) – две первообразные для одной и той же функции f(x) на некотором множестве , то, где С – произвольная постоянная.

Определение 6.2.

Совокупность всех первообразных функции f(x), выражаемая формулой F(x)+C, называется неопределённым интегралом от этой функции, называется подынтегральной функцией, f(x)dx - подынтегральным выражением, а х – переменной интегрирования.

Обозначение: .