![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определение 5.13.
Точка М0 называется точкой минимума (точкой максимума) функции f(M), если в некоторой окрестности Оδ(М0) точки М0 выполняется неравенство f(M) > f(M0) (f(M) < f(M0)) при всех М Оδ(М0), М ≠ М0.
Точки минимума и максимума называются точками экстремума функции f(M), а значения функции в этих точках – экстремумами (минимумами или максимумами).
Теорема 5.3 (необходимые условия экстремума функции).
Если функция f (M) = f (x1, x2, …, xn) имеем в точке М0 экстремум и существует частная производная (M0), то эта производная равна нулю.
Точки, в которых все частные производные равны 0, а также те точки, в которых некоторые частные производные не существуют, называются точками, подозрительными на экстремум.
Пример 5.6.
Для функции u = x3 + y2 + z2 + 12xy + 2z найдем точки, подозрительные на экстремум.
Имеем , откуда получим
,
.
Таким образом, данная функция имеет две точки, подозрительные на экстремум: М1(0; 0; -1), М2(24; -144; -1).
Достаточные условия экстремума сформулируем для функции двух переменных.
Теорема 5.4 (достаточные условия экстремума функции).
Пусть функция f(x, y) определена в некоторой окрестности, точки (х0, у0), причем f'x (x0, y0) = f'y (x0, y0) = 0, а также имеем в этой точке непрерывные частные производные второго порядка.
Обозначим f''xx (x0, y0) = A, f''xy (x0, y0) = f''yx (x0, y0) = B, f''yy (x0, y0) = C, тогда:
1) если АС – В2 > 0 и А < 0 (A > 0), то в точке (х0, у0) функция f(x, y) имеет максимум (минимум);
2) если АС – В2 < 0, то в точке (х0, у0) функция f(x, y) экстремума не имеет;
3) если АС – В2 = 0, то требуется дополнительное исследование.
Пример 5.7.
Исследуем на экстремум функцию z = x3 + y3 – 3xy.
Найдем точки, подозрительные на экстремум:
, откуда получим М1(0; 0), М2(1; 1).
Вычислим частные производные второго порядка: z''xx = 6x, z''xy = z''yx = -3, z''yy = 6y.
1) В точке М1(0; 0) имеем А = = 0, B = -3, C
= 0.
Поскольку АС – В2 = -9 < 0, то в точке М1(0; 0) экстремума нет.
2) В точке М2(1; 1) получаем А = = 6, B = -3, C =
= 6.
Следовательно, АС – В2 = 27 > 0, причем, A > 0, а это значит, что в точке М2(1; 1) данная функция имеет минимум zmin = -1.
Глава VI. Неопределенный интеграл
6.1. Первообразная и неопределённый интеграл
Определение 6.1.
Пусть функции и заданы на некотором множестве Х. Функция F(x) называется первообразной функции f(x), если для всех
.
Теорема 6.1.
Если Ф(х) и F(x) – две первообразные для одной и той же функции f(x) на некотором множестве
, то, где С – произвольная постоянная.
Определение 6.2.
Совокупность всех первообразных функции f(x), выражаемая формулой F(x)+C, называется неопределённым интегралом от этой функции, называется подынтегральной функцией, f(x)dx - подынтегральным выражением, а х – переменной интегрирования.
Обозначение: .
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 582 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!