Частные производные функции

Определение 5.8.

Пусть функция u=f(x₁,x₂,…,x_n) задана в некоторой окрестности точки M₀(x₁⁰,x₂⁰,…,x_n⁰).

Частной производной функции f(x₁,x₂,…,x_n) по аргументу x_k в точке M₀ называется производная функции f(x₁⁰,x₂⁰,…,x_k,…,x_n⁰) в точке х_к⁰.

Обозначение:

(Другие обозначения: ).

Определение 5.9.

1. Приращением аргумента x_k в точке x_k⁰ называется выражение .

2. Частным приращением функции f(x₁,x₂,…,x_n) по аргументу x_k в точке

M₀(x₁⁰,x₂⁰,…,x_n⁰) называется выражение f(x₁⁰,x₂⁰,…,x_k⁰+ ,…,x_n⁰) -

- f(x₁⁰,x₂⁰,…,x_k⁰,…,x_n⁰), которое обозначается .

Таким образом, .

Замечание 5.5.

Если частная производная функции f(x₁,x₂,…,x_n) по аргументу x_k существует для всех точек некоторого множества Х, то сопоставив каждой точке значение , получим функцию n переменных, которая называется частной производной функции f(x₁,x₂,…,x_n) по аргументу x_k и обозначается f'_xk.

(Другие обозначения: ).

Вычисления частных производных производится по обычным правилам вычисления производных функций одной переменной.

Пример 5.2.

Вычислим частные производные функции .

При нахождении частной производной по аргументу x исходную функцию рассматриваем как функцию одной переменной x при фиксированном значении переменной .

Повторим ту же процедуру, меняя роли x и .

Пример 5.3.

Частные производные функции трёх переменных выражаются следующим формулами: