Дифференциал функции двух переменных

Определение 5.10.

Пусть функция z=f(x,y) задана в некоторой окрестности точки M₀(x₀,y₀).

Полным приращением функции f(x,y) в этой точке называется выражение .

Теорема 5.1.

Если функция f(x,y) имеет непрерывные частные производные в точке М₀(х₀,у₀), то верна следующая формула: где .

Определение 5.11.

Дифференциалом функции f(x,y) в точке М₀ (х₀,у₀) называется линейная функция относительно двух аргументов .

Обозначение: . (Другое обозначение: dz).

С учетом введённого понятия дифференциала формула из теоремы 5.1 может быть записана следующим образом: или в развёрнутом виде .

Замечание 5.6.

Отбросив в последнем равенстве слагаемое , получим приближённое равенство . Его можно использовать для вычисления приближенного значения при малых , если известны значения , .

Пример 5.4.

Вычислим приближенно .

Для этого рассмотрим функцию f(x, y)= . Возьмем число х₀ = 3, близкое к х = 3,05, и число у₀ = 7, близкое к у = 7,15, тогда х = х – х₀ = 0,05, у = у – у₀ = 0,15.

Найдем частные производные функции f(x, y):

f'_x = , f'_y = , откуда f'_x (3; 7) = 0,75, f'_y (3; 7) = 0,125.

Таким образом,

+ 0,75·0,05+0,125·0,15 = 4,05625.