Определение функции нескольких переменных

Определение 5.5.

Пусть каждой точке М(х₁, х₂, …, х_n) Х по некоторому правилу f сопоставлено единственное число u из числового множества U, тогда говорят, что на множестве Х задана функция n переменных.

Обозначение: f (х₁, х₂, …, х_n) или u = f (х₁, х₂, …, х_n).

(Другие обозначения: f(М) или u = f(М)).

Множество Х называется областью определения функции f(M) и обозначается D(f).

Числа х₁, х₂, …, х_n называются независимыми переменными или аргументами функции.

Замечание 5.3.

Функции двух и трех переменных в дальнейшем будем обозначать f(x, y) (z = f(x, y)) и f(x, y, z) (u = f(x, y, z)) соответственно.

Определение 5.6.

Графиком функции f (х₁, х₂, …, х_n) называется множество точек {(х₁, х₂, …, х_n, u) / R ⁿ⁺¹: (х₁, х₂, …, х_n) X, u = f (х₁, х₂, …, х_n)}.

Обозначение: Г(f).

Определение 5.7.

Линией уровня функции f(х₁, х₂, …, х_n) называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению f(х₁, х₂, …, х_n) = с, где с – некоторое фиксированное число.

Функции двух и трех переменных можно изучать с помощью их графиков и линий уровня.

Пример 5.1.

Рассмотрим функцию f(x, y) = x² + y².

График Г(f) этой функции представляет собой поверхность в / R³, заданную уравнением z = x² + y². Эта поверхность называется параболоидом вращения (рис. 5.2).

Линии уровня данной функции образуют семейство кривых на плоскости хОу, описываемое уравнением x² + y² = с.

у

Если с > 0, то уравнение описывает семейство концентрических окружностей с центром в точке О(0, 0) и радиусом (рис.5.3). При с = 0 окружность вырождается в точку О(0, 0), а при с < 0 рассматриваемое уравнение задаем пустое множество.

рис. 5.3.

Замечание 5.4.

Для функции нескольких переменных можно ввести понятия предела функции в точке, пределов по направлению (они являются обобщениями понятия односторонних пределов для функции одной переменной), непрерывности функции в точке и на замкнутом ограниченном множестве.

Более подробно с этим понятиеми можно познакомиться в [1] (глава 15, п. 15.2).