Построение графика функции

При исследовании функции и построении ее графика целесообразно придерживаться следующей схемы:

1. Исследование функции без использования первой и второй производных.

а) Найти область определения функции D(f).

б) Определить точки пересечения графика с осями Ох и Оу.

в) Проверить, является ли функция четной, нечетной или периодической.

г) Выяснить вопрос о существовании вертикальных и наклонных асимптот (см. п. 2.7).

2. Исследование функции с помощью первой производной.

а) Найти точки, подозрительные на экстремум.

б) Заполнить таблицу интервалов постоянной монотонности и точек экстремума.

3. Исследование функции с помощью второй производной.

а) Найти абсциссы точек, подозрительных на перегиб.

б) Заполнить таблицу интервалов постоянной выпуклости и точек перегиба.

4. Построение графика функции в целом.

Пример 4.10.

Построить график функции f(x) = .

Будем следовать изложенной выше схеме.

1. Область определения функции есть множество D(f) = (-∞, -2) (-2, +∞).

Определим точки пересечения графика функции с осями Ох, Оу: А(, 0); В(- , 0); С(0, ).

Отметим, что функция не является ни четной, ни нечетной, а также не является периодической.

Вычислим односторонние пределы в точке х=-2: .

Следовательно, прямая х = -2 является вертикальной асимптотой.

Исследуем наличие наклонных асимптот. Пусть х→ +∞, тогда

Следовательно, прямая у = -х+2 есть наклонная асимптота при х→ +∞.

Аналогично доказывается, что та же прямая является наклонной асимптотой при х→ -∞.

2. Для определения точек, подозрительных на экстремум, вычислим производную .

Точками подозрительными на экстремум, будут точки х₁ = 3 и х₂ = -1, в которых производная обращается в нуль.

Заполним таблицу интервалов постоянной монотонности и точек экстремума:

х	(-∞, -3)	-3	(-3, -2)	(-2, -1)	-1	(-1, +∞)
знак f'(x)	-		+	+		-
Возрастание, убывание; вид экстремума		min			max

Из таблицы видно, что х₁ = х_min = -3, при этом у_min = f( x_{mi n} ) = 6, а х₂ = х_max = -1, при этом у_max = f (x_max) = 2.

Отметим также, что функция убывает на промежутке (-∞, -3), (-1, +∞) и возрастает на промежутках (-3, -2), (-2, -1).

Для нахождения точек, подозрительных на перегиб, вычислим вторую производную f''(x) = - .

Подозрительной на перегиб является единственная точка с абсциссой х = -2, но поскольку точка х = -2 не принадлежит области определения функции, то перегибов график функции не имеет.

Заполним таблицу интервалов постоянной выпуклости:

х	(-∞, -2)	(-2, +∞)
знак f''(x)	+	-
Направление выпуклости

Из таблицы видно, что на промежутке (-∞, -2) кривая у = f(x) выпукла вниз, а на промежутке (-2, +∞) – выпукла вверх.

4. Строим график функции (рис. 4.13).