![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
При исследовании функции и построении ее графика целесообразно придерживаться следующей схемы:
1. Исследование функции без использования первой и второй производных.
а) Найти область определения функции D(f).
б) Определить точки пересечения графика с осями Ох и Оу.
в) Проверить, является ли функция четной, нечетной или периодической.
г) Выяснить вопрос о существовании вертикальных и наклонных асимптот (см. п. 2.7).
2. Исследование функции с помощью первой производной.
а) Найти точки, подозрительные на экстремум.
б) Заполнить таблицу интервалов постоянной монотонности и точек экстремума.
3. Исследование функции с помощью второй производной.
а) Найти абсциссы точек, подозрительных на перегиб.
б) Заполнить таблицу интервалов постоянной выпуклости и точек перегиба.
4. Построение графика функции в целом.
Пример 4.10.
Построить график функции f(x) = .
Будем следовать изложенной выше схеме.
1. Область определения функции есть множество D(f) = (-∞, -2) (-2, +∞).
Определим точки пересечения графика функции с осями Ох, Оу: А(, 0); В(-
, 0); С(0,
).
Отметим, что функция не является ни четной, ни нечетной, а также не является периодической.
Вычислим односторонние пределы в точке х=-2: .
Следовательно, прямая х = -2 является вертикальной асимптотой.
Исследуем наличие наклонных асимптот. Пусть х→ +∞, тогда
Следовательно, прямая у = -х+2 есть наклонная асимптота при х→ +∞.
Аналогично доказывается, что та же прямая является наклонной асимптотой при х→ -∞.
2. Для определения точек, подозрительных на экстремум, вычислим производную .
Точками подозрительными на экстремум, будут точки х1 = 3 и х2 = -1, в которых производная обращается в нуль.
Заполним таблицу интервалов постоянной монотонности и точек экстремума:
х | (-∞, -3) | -3 | (-3, -2) | (-2, -1) | -1 | (-1, +∞) |
знак f'(x) | - | + | + | - | ||
Возрастание, убывание; вид экстремума | ![]() | min | ![]() | ![]() | max | ![]() |
Из таблицы видно, что х1 = хmin = -3, при этом уmin = f( xmi n ) = 6, а х2 = хmax = -1, при этом уmax = f (xmax) = 2.
Отметим также, что функция убывает на промежутке (-∞, -3), (-1, +∞) и возрастает на промежутках (-3, -2), (-2, -1).
Для нахождения точек, подозрительных на перегиб, вычислим вторую производную f''(x) = - .
Подозрительной на перегиб является единственная точка с абсциссой х = -2, но поскольку точка х = -2 не принадлежит области определения функции, то перегибов график функции не имеет.
Заполним таблицу интервалов постоянной выпуклости:
х | (-∞, -2) | (-2, +∞) |
знак f''(x) | + | - |
Направление выпуклости | ![]() | ![]() |
Из таблицы видно, что на промежутке (-∞, -2) кривая у = f(x) выпукла вниз, а на промежутке (-2, +∞) – выпукла вверх.
4. Строим график функции (рис. 4.13).
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 283 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!