Понятие n-мерного координатного пространства

Определение 5.1.

Множество всевозможных упорядоченных совокупностей (х₁, х₂, …, х_n) n вещественных чисел называется n -мерным координатным пространством и обозначается .

Каждая упорядоченная совокупность(х₁, х₂, …, х_n) называется точкой пространства и обозначается буквой М или М(х₁, х₂, …, х_n).

При этом числа х₁, х₂, …, х_n называются координатами точки М.

Замечание 5.1.

Важными частными случаями координатного пространства являются пространство упорядоченных пар вещественных чисел (х, у) и пространство упорядоченных троек вещественных чисел (х, у, z).

Определение 5.2.

Рассмотрим 2 точки М'(х₁', х₂', …, х_n') и М''(х₁'', х₂'', …, х_n'') координатного пространства .

Расстоянием между точками М' и М'' называется число

= .

Определение 5.3.

Множество точек М , для которых выполнено условие < R, называется открытым n-мерным шаром радиуса R с центром в точке М₀.

Определение 5.4.

Открытый n-мерный шар радиуса δ с центром в точке М₀ называется δ-окрестностью точки М_0.

Обозначение: О_δ(М₀).

Таким образом, О_δ(М₀) = {M : ρ(M, M₀) < δ}.

Замечание 5.2.

При n = 2 δ-окрестностью точки М₀(х₀, у₀) является открытый круг О_δ(М₀) = {(х, у) : (х-х₀)² + (у-у₀)² < δ²} (рис. 5.1).

При n = 3 δ-окрестностью точки М₀(х₀, у₀, z₀) является открытый шар О_δ(М₀)= {(х, у, z) : (х-х₀)² + (у-у₀)² + (z-z₀)² < δ²}.