Точки перегиба кривой

Определение 4.3.

Предположим, что функция f(x) непрерывна на интервале (a, b) и х₀ (a, b).

Точка М₀ (х₀, f(x₀)) называется точкой перегиба кривой y = f(x), если при переходе через эту точку кривая y = f(x) меняет направление выпуклости.

Точка перегиба является локальной характеристикой и дает представление о поведении кривой лишь в некоторой окрестности х₀.

На рис 4.10 и 4.11 точка М₀ является точкой перегиба изображенных кривых.

Теорема 4.12 (о необходимом условии перегиба кривой).

Если точка М₀(х₀,f(x₀)) является точкой перегиба кривой y=f(x) и существует , то =0.

Следствие

Если точка М₀(х₀,f(x₀)) есть точка перегиба кривой y=f(x), то либо =0, либо не существует.

Точка М₀(х₀,f(x₀)) называется точкой, подозрительной на перегиб, если для абсциссы этой точки выполняется одно из условий следствия.

Теорема 4.13 (о достаточном условии перегиба кривой).

Пусть функция f(x) дважды дифференцирована в некоторой окрестности точки x₀ за исключением возможно самой точки x₀, а в точке x₀ функция f(x) непрерывна, тогда если меняет знак при переходе через x₀, то точка М₀(х₀,f(x₀)) является точкой перегиба кривой y=f(x).

Пример 4.9.

Определим точки перегиба кривой .

Вычислим вторую производную и найдем точки, подозрительные на перегиб:

Вторая производная существует при всех / R и обращается в нуль при x₁=-1 и x₂=1.

Таким образом, точки М₁(-1, ln2), М₂(1, ln2) являются точками, подозрительными на перегиб.

Составим следующую таблицу:

X	(-∞,-1)	-1	(-1,1)		(1,+∞)
Знак f''(x)	-		+		-

у

Как видно из таблицы, f''(x) меняет знак при переходе через точки x₁=-1 и x₂=1. Согласно теореме 4.13 точки М₁(-1, ln2) и М₂(1, ln2) есть точки перегиба исходной кривой (рис.4.12).