Направление выпуклости кривой

Определение 4.2.

Пусть функция f(x) непрерывна на интервале (a, b). Кривая у = f(x) называется выпуклой вверх (вниз) на (a, b), если для любых двух точек M и N на этой кривой, абсциссы которых принадлежат интервалу (a, b), соединяющая их хорда лежит ниже (выше) кривой.

На рис. 4.6 кривая у = f(x) выпукла вверх, а на рис. 4.7 – вниз.

Замечание 4.5.

Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a, b), то она называется выпуклой вверх (вниз) на (a, b), если касательная, проведенная в любой точке М кривой с абсциссой из (a, b), лежит выше (ниже) кривой, кроме точки касания.

На рис. 4.8 кривая y = f(x) выпукла вверх, а на рис. 4.9 – вниз.

Теорема 4.10 (о необходимом условии выпуклости кривой).

Предположим, что функция f(x) дважды дифференцируема на интервале (a,b), тогда если кривая y = f(x) выпукла вверх (вниз) на (a, b), то f''(x) ≤ 0 (f''(x) ≥ 0 ) при всех х (a, b).

Теорема 4.11 (о достаточном условии выпуклости кривой).

Пусть функция f(x) дважды дифференцируема на интервале (a, b), тогда если f''(x) < 0 (f''(x) > 0 ) при всех х (a, b), кроме возможно конечного числа точек, в которых f''(x) = 0, то кривая y = f(x) выпукла вверх (вниз) на (a, b).

Пример 4.8.

Определим интервалы постоянной выпуклости кривой у = f(x) = 2х + 3 .

Вычислим вторую производную: . Нетрудно видеть, что f''(x) < 0при х (-∞, 0) (0, +∞).

Следовательно, по теореме 4.11 исходная кривая является выпуклой вверх на промежутках (-∞, 0) и (0, +∞), что и отражено на рис. 4.5.