Последовательность и ее предел

Определение 2.1.

Пусть любому натуральному числу n сопоставлено в соответствие вещественное число х , тогда говорят, что задана последовательность ,…

Обозначение: { х }.

Числа ,… называются членами последовательности, n -ый член х называется общим членом последовательности.

Замечание 2.1.

Последовательность можно рассматривать как некоторую функцию f, область определения которой есть множество натуральных чисел / N, при этом х = f (х ) для любых n / N.

Пример 2.1.

Рассмотрим последовательность {q } (q 0). Такая последовательность называется геометрической прогрессией.

В развернутом виде она может быть записана, например, при q= в виде:

…

Пример 2.2. (Последовательность Фибоначчи)

(n 3).

Такая последовательность задана рекуррентной формулой, позволяющей находить члены последовательности по известным предыдущим.

Определение 2.2.

Пусть а, - вещественные числа, причем >0. – окрестностью точки а называется интервал (а- , а + ).

Обозначение: (а).

Определение 2.3.

Число а называется пределом последовательности {х }, если какую бы малую

окрестность (а) ни взять, все точки х с достаточно большими номерами (n ) попадут в эту окрестность, причем вне этой окрестности может остаться лишь конечное число точек, изображающих члены последовательности.

Если последовательность {х } имеет конечный предел а, то говорят, что данная последовательность сходится к числу а.

Обозначение:

Пример 2.3.

Рассмотрим последовательность , или в развернутом виде …

.

.

.

.

.

.

.

Докажем, что . Пусть, например, = . Построим окрестность (0) точки О.

Рис. 2.1

Из рисунка 2.1. видно, что начиная с номера N =11 все точки х = попадают в окрестность (0).

Аналогичные рассуждения можно провести и для любых других значений . Таким образом, .