![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
1. В трехмерном пространстве свободных векторов скалярное произведение двух векторов определяется как произведение их длин на косинус угла между ними. Аксиомы 1 – 4 выражают собой основные свойства скалярного произведения и доказываются в векторной алгебре.
2. В пространстве вводилось скалярное произведение двух векторов
и
по формуле
.
Легко проверить, что требования 1 – 4 выполняются.
3. В пространстве непрерывных на отрезке функций введем скалярное произведение двух функций
и
по формуле
. Используя правила интегрирования, можно проверить, что аксиомы 1 – 4 выполняются.
Пусть V произвольное конечномерное евклидово пространство с базисом . Пусть
и
,
.
Тогда, используя аксиомы 2 и 3, получим
.
Обозначим , где
(аксиома 4). Получим общий вид скалярного произведения в конечном евклидовом пространстве
.
Задавая различным образом скалярное произведения базисных векторов , получим различные формы скалярного произведения в V.
Основные метрические понятия. Определим теперь с помощью скалярного произведения длину вектора и угол между векторами.
1. Длина вектора.
Длиной вектора х, или нормой вектора в евклидовом пространстве будем называть величину
(берется арифметическое значение корня).
Заметим, что в пространствах и
норма
совпадает с обычной длиной вектора х.
В пространстве для вектора
.
Нормой функции является величина
. Эту величину обозначают иногда
. Из определения нормы следует, что
при
, и
при
.
Абсолютную величину числового множителя можно выносить за знак нормы вектора
.
Вектор х, имеющий длину 1, называется нормированным. Очевидно, всякий ненулевой вектор х можно нормировать. Для этого достаточно умножить его на число ,
.
Множество называется ограниченным, если длины всех векторов
ограничены фиксированной константой. Например, единичный шар пространства V – совокупность всех векторов
,
.
2. Угол между векторами.
Углом между парой векторов х, у будем называть тот угол , косинус которого равен отношению
.
В пространствах и
это согласуется с обычным выражением угла между векторами. Чтобы введенное понятие имело смысл в любом евклидовом пространстве R нужно доказать, что
,
т.е. что . Для доказательства рассмотрим вектор
, где
– вещественное число
(аксиома 4)
.
Слева стоит квадратный трехчлен относительно , и так как он не отрицателен, его дискриминант
.
Отсюда ,
.
Неравенство называют неравенством Коши-Буняковского.
Посмотрим какой вид имеет неравенство Коши-Буняковского в различных пространствах.
1. В пространстве неравенство вытекает из определения скалярного произведения как длин векторов и косинуса угла между ними.
2. В пространстве неравенство Коши-Буняковского имеет вид
.
Оно справедливо для любой пары векторов и
, т.е. для любых наборов чисел
и
.
3. В пространстве будем иметь
.
Например, найдем угол между функциями
и
в пространстве
.
.
Так как интегралы
;
;
, то
.
Угол же между функциями
и
в
равен
,
так как интеграл от нечетной функции на симметричном интервале (1,-1) равен нулю. Таким образом, функции
и
ортогональны.
В пространстве две функции
и
считаются ортогональными, если
.
Легко проверить, например, что любые два вектора из системы функций 1, ,
,
,
,…,
,
взаимно ортогональны на отрезке
. С помощью введенных понятий можно перенести на евклидовы пространства ряд теорем элементарной геометрии.
3. Теорема Пифагора и ее обобщение.
Пусть х и у ортогональные векторы, тогда естественно считать диагональю прямоугольника со сторонами х и у. Покажем, что
, т.е. что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Действительно, по определению . Используя аксиомы 2, 1 и ортогональность х и у, получаем
,
что требовалось доказать.
Вообще, если взаимно ортогональны и
, то
.
Если же х и у произвольные векторы, то по аналогии с элементарной геометрией – третья сторона треугольника, построенного на х и у. Используя неравенство Коши-Буняковского, получаем
,
,
т.е. длина любой стороны треугольника не больше, чем сумма длин двух других сторон и не меньше, чем модуль разности длин этих сторон.
.
Расстоянием между двумя точками х и у евклидова пространства называется длина вектора :
.
Ортогональный базис. В произвольном линейном пространстве не было оснований предпочитать одни базисы другим, там все базисы были равноправны. В евклидовом пространстве существуют более удобные базисы – ортогональные; они играют здесь ту же роль, что и прямоугольные системы координат в аналитической геометрии.
Мы докажем теперь теорему о существовании в произвольном евклидовом пространстве базиса из взаимноортогональных векторов. Более того, нас будет интересовать ортогональный нормированный базис, т.е. такой базис , в котором векторы попарно ортогональны и имеют каждый единичную длину
. (*)
Докажем лемму.
Лемма 1. Взаимно ортогональные ненулевые векторы линейно независимы, т.е. что равенство
(**)
возможно лишь при .
Действительно, умножим обе части равенства (**) скалярно на . Получим:
.
Но по условию ,
, при
. Следовательно
. Аналогично, умножая (**) скалярно на
, получим
.
Теорема. Во всяком n -мерном евклидовом пространстве существует ортогональный нормированный базис.
Мы уже подробно рассматривали как строить ортогональную систему векторов в пространстве (процесс ортогонализации). Покажем для примера, как получить ортогональную систему функций в пространстве полиномов степени
в
.
Пусть . Будем искать
. Из условия ортогональности
и
получаем
. Потребуем, чтобы сумма коэффициентов многочлена равнялась единице (что равносильно равенству единице значения многочлена при t=1).
,
,
,
.
Пусть теперь . Тогда
,
и
.
Отсюда получим ,
,
, и
.
Получили ортогональную систему полиномов:
,
,
.
Действуя аналогично, можем получить ортогональную систему многочленов степени при любом конечном n на отрезке
.
Такую систему многочленов называют полиномами Лежандра. Полиномы Лежандра обладают многими замечательными свойствами и находят широкое применение в приложениях.
В евклидовом пространстве рассматривается задача о проекции произвольного вектора на некоторое подпространство W
V и доказывается теорема о том, что каждый вектор
может быть разложен в прямую сумму двух векторов, один из которых есть вектор подпространства W,
а другой принадлежит ортогональному дополнению W. Подробнее об этой задаче можно прочесть в Приложении.
5 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 366 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!