Примеры. 1. Линейная оболочка векторов базиса пространства V совпадает со всем пространством

1. Линейная оболочка векторов базиса пространства V совпадает со всем пространством.

2. Рассмотрим систему функций из пространства . Их линейная оболочка – множество всех многочленов степени .

Легко проверить, что линейная оболочка векторов , образует подпространство, так как при сложении линейных комбинаций и умножении их на число вновь получаются линейные комбинации так же векторов.

Для линейной оболочки , если же линейно независимы,
то они служат базисом в L и . Если векторы , порождающие линейную оболочку, линейно зависимы, то , где r – ранг системы векторов (максимальное число линейно независимых векторов системы). Всякий базис можно дополнить до базиса всего пространства V.

Рассмотрим еще один пример.

В пространстве линейную оболочку векторов составляют функции вида , где a, b – любые вещественные числа. Функции линейно независимы и составляют базис своей линейной оболочки, . Найдем, например, координаты гиперболических функций и в этом базисе.

, ,

поэтому координаты , а в базисе .