Матрица перехода

Как мы видим в рассмотренных примерах, в линейном пространстве V все базисы равноправны. Тот или иной базис выбирают исходя из конкретных обстоятельств. Иногда для представления элементов линейного пространства используют несколько базисов и тогда возникает задача о преобразовании координат векторов, которые связаны с изменением базиса. Мы уже встречались с этой задачей в пространстве Rⁿ (при переходе от стандартного базиса к собственному базису матрицы А).

Матрицей перехода от базиса к базису в линейном n -мерном пространстве V называется квадратная матрица С порядка n, столбцами которой являются координаты нового базиса по старому :

, .

Сформулируем еще раз основные свойства матрицы перехода С.

1. Матрица С невырождена и имеет обратную .

2. Матрица является матрицей перехода от нового базиса к старому .

3. Пусть в n -мерном линейном пространстве задан базис ; С – произвольная невырожденная квадратная матрица порядка n, тогда существует такой базис
в линейном пространстве, что матрица С будет матрицей перехода от базиса к базису . Действительно, так как С – невырождена, то ее вектор-столбцы линейно независимы. Будем считать столбцы матрицы С координатами по базису новой системы из n линейно независимых векторов , тогда система – базис, а матрица С – матрица перехода от к .

4. Если в линейном пространстве заданы базисы , и , причем С – матрица перехода от базиса к , а В – матрица перехода от базиса к , то матрица–произведение является матрицей перехода от базиса к .

Например, пусть векторы “нового” базиса трехмерного линейного пространства выражены через “старый” базис по формулам:

,

,

.

Чтобы составить матрицу С перехода от к , запишем координаты векторов системы по базису в столбцы матрицы С:

, , .

Матрица С невырожденная, . Матрица имеет вид:

.

Следовательно, соотношения, выражающие векторы базиса через векторы :

,

,

.

Рассмотрим теперь, как преобразуются координаты произвольного вектора в линейном пространстве V при переходе от старого базиса к новому с заданной матрицей перехода С.

Мы уже подробно рассматривали эту задачу в случае арифметического n -мерного пространства Rⁿ. Аналогичный результат имеет место в случае произвольного линейного пространства V, а именно: пусть старый и новый –два базиса в n -мерном пространстве V; С – матрица перехода от к ; v – произвольный вектор пространства V;

и , тогда , т.е. чтобы получить координаты вектора в старом базисе нужно столбец координат этого вектора в новом базисе умножить слева на матрицу перехода из старого базиса в новый.