Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Пусть имеется линейное пространство V.
Определение. Линейным оператором (линейным преобразованием) в линейном пространстве V называется правило, по которому каждому вектору ставится в соответствие вектор , причем выполняются условия линейности:
1. .
2. , – вещественное число.
Откуда по индукции получаем
.
Вектор называют образом вектора х, а х – прообразом вектора у. Оператор представляет собой обобщение понятия функции, когда область определения и область значений функции принадлежат линейному пространству V. Обозначение напоминает обозначение функции, где аргументом является вектор х; оператор А, действующий в пространстве V, обозначают: и называют преобразованием пространства.
Непосредственно из определения вытекает, что .
Примеры линейных операторов.
1. Нулевой оператор: каждому вектору ставится в соответствие 0-вектор из V –
.
2. Тождественный оператор: каждому вектору ставится в соответствие сам вектор х
.
3. Оператор подобия: , где – некоторое действительное число.
4. В пространстве рассмотрим подпространство многочленов степени . На этом подпространстве определим оператор дифференцирования D:
,
.
Линейность оператора D следует из линейности операции дифференцирования.
5. В пространстве задана фиксированная функция ; – произвольная функция из . Оператор определим так: – оператор умножения на фиксированную функцию.
Легко проверяется его линейность:
,
где ; – вещественные числа.
6. В пространстве векторов на плоскости (все векторы выходят из начала координат) рассмотрим преобразование – поворот плоскости на угол против часовой стрелки.
На рисунке 9 показано преобразование поворота на угол против часовой стрелки. Очевидно, что при повороте векторов и на этот угол диагональ параллелограмма (их сумма) поворачивается на тот же угол, т.е. . Так же очевидно, что операции умножения вектора на число и поворот на угол можно выполнить в обратном порядке – результат получим тот же. Следовательно, это преобразование линейное.
Рисунок 9
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 226 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!