![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Среди линейных операторов легко вводятся такие действия, как сложение операторов, умножение оператора на число, умножение операторов.
Можно показать, что эти действия над операторами сводятся к аналогичным действиям над их матрицами. Так, например, умножение операторов (последовательное выполнение двух линейных преобразований) приводит к умножению их матриц. Умножение операторов, так же как и умножение матриц, вообще говоря, некоммунатативно. Рассмотрим пример.
В пространстве на плоскости со стандартным базисом
определим два оператора:
– поворот на угол
против часовой стрелки и Р – проектирование на ось
(оба оператора линейны). Рассмотрим действие операторов АР и РА на векторы базиса:
,
;
,
.
,
;
,
.
Или матрицы операторов АР и РА в базис :
,
,
.
Операторы А и В считаются равными, если для всякого верно
, откуда следует, что у равных операторов совпадают матрицы в любых базисах.
Конечно, некоторые пары операторов коммутируют, например, для любого А, что верно и для их матриц.
Введем понятие оператора, обратного к оператору . Оператор
называется обратным к оператору А, если
, или произведение
, где Е – тождественный оператор. Можно показать, что обратный оператор единственный, причем
. Тогда, если в пространстве V выбран базис
, то в этом базисе для матриц операторов
верно
.
Матрицу В называют обратной к матрице А и обозначают . С этой матрицей мы уже ознакомились в юните 1. Обратный оператор будем обозначать
. Заметим, что если
, то
. Очевидно не всякий оператор А имеет обратный. Например, если оператор А вектор
переводит в 0-вектор
, то для любого линейного оператора В будем иметь
, т.е. равенство
невозможно, т.е. А не имеет обратного.
Мы знаем, что не всякая матрица имеет обратную. Условием существования обратной к данной матрице А является ее невырожденность ().
Итак, если в пространстве V выбран конечный базис , то каждому вектору
,
ставится в соответствие последовательность чисел
, т.е. вектор из
. Действия над векторами
сводятся к действиям над векторами (точками) пространства
.
Упомянутое выше соответствие между операторами и их матрицами в заданном базисе сводит действия над линейными операторами к соответствующим действиям над их матрицами.
Рассмотрим, например, задачу об отыскании собственных векторов оператора А.
Определение. Пусть линейный оператор . Ненулевой вектор
, удовлетворяющий соотношению
, называется собственным вектором оператора А,
а соответствующее число – собственным значением оператора А.
Задача об отыскании собственных векторов и собственных значений имеет много важных приложений. Чем больше собственных векторов мы знаем, тем лучше понимаем, как действует оператор. Идеальным является случай, когда в пространстве V имеется базис из собственных векторов оператора А. В таком базисе матрица оператора имеет диагональный вид
, где
– собственные значения, отвечающие собственному вектору
.
Задача об отыскании собственных значений и векторов оператора А сводится к отысканию собственных значений и векторов матрицы оператора А. Эта задача подробно рассматривалась в главе 1. Напомним, что собственные числа являются корнями характеристического многочлена .
Матрица А при замене базиса преобразуется , где С – матрица перехода. Покажем, что характеристический многочлен (и его корни) при этом не изменятся.
, так как
.
Следовательно можно говорить о характеристическом многочлене матрицы оператора
(в любом базисе). Как было показано (гл. 1) не всякая матрица имеет собственный базис.
Если же матрица А – симметричная, то для нее существует ортонормированный собственный базис. Возникает вопрос, какому оператору соответствует симметричная матрица?
Пусть V – евклидово пространство, – стандартный ортонормированный базис, линейный оператор
, А – его матрица в базисе
. Линейный оператор
называется сопряженным к А, если для любых
.
Для всякого ли оператора А в евклидовом пространстве существует сопряженный оператор А *, а если существует, то однозначно ли он определяется?
Ответ на этот вопрос дает следующее утверждение.
Пусть А * оператор, сопряженный к А и B – его матрица в базисе . Тогда
. Обратно, сопряженный оператор А * можно определить как оператор, имеющий в ортонормированном базис
матрицу
, транспонированную к матрице А оператора А.
Таким образом, сопряженный оператор существует и притом только один.
Оператор А называется самосопряженным, если он совпадает со своим сопряженным оператором, т.е. или
,
.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 830 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!