Доказательство. Обозначим вектор-столбцы координат векторов в базисах и соответственно

Обозначим вектор-столбцы координат векторов в базисах и соответственно . Напомним, что , .

Пусть теперь , . Выразим матрицу оператора в базисе через матрицу перехода С и матрицу оператора в базисе :

; .

Сравнивая результаты, получим: . Матрицы А и В подобны, если существует невырожденная матрица Р, что ; тогда .

Итак, матрицы оператора и в различных базисах подобны, и определитель матрицы оператора не зависит от выбора базиса.

Пример. В пространстве матрицы оператора в стандартном базисе , имеет вид: . Найти матрицу того же преобразования в базисе и .

Решение. Заметим, что линейно независимы и образуют новый базис в . Выпишем матрицу перехода от к , для чего запишем координаты векторов в стандартном базисе в столбцы матрицы С

.

,

откуда .

Покажем, как по другому можно получить ту же матрицу .

Координаты и матрица оператора задана в стандартном базисе. Найдем образы и
в том же базисе :

; или

; . (*)

Нам надо получить выражения образов и в базисе .

.

Подставляя выражения и через и в равенства (*), получаем

,

.

Выписывая по столбцам координаты образов и в базисе , получаем .