Подпространство

В любом линейном пространстве V можно выделить такое подмножество, которое относительно операций из V само является линейным пространством.

Определение. Непустое подмножество W V называется подпространством линейного пространства V, если:

1) сумма любых векторов х, у из W является вектором из W, т.е. если ;

2) произведение любого вектора х из W на скаляр есть вектор из W, т.е. если , где – число.

Иными словами, применение линейных операций к векторам подмножества W не выводит результат из W, говорят, что подпространство замкнуто относительно операций сложения и умножения на скаляр. Фактически подпространство W является пространством, а потому, основные понятия, введенные для пространств, переносятся на подпространства. Так, базис подпространства W – система линейно независимых векторов такая, что любой вектор представим в виде линейной комбинации .

Доказывается, что все базисы подпространства состоят из одного и того же числа векторов m, которое называется размерностью подпространства W и обозначается .

Рассмотрим примеры подпространств.

Множество, состоящее только из нулевого вектора , есть подпространство в V и все пространство V также есть подпространство самого себя. Эти два подпространства называют несоб с твенными, остальные же подпространства – собственные.

1. Пусть в пространстве задан фиксированный вектор . Рассмотрим множество W векторов из , ортогональных вектору а:

.

Покажем, что W – подпространство. Действительно, пусть , , т.е. их скалярные произведения с вектором а равны нулю: , . Рассмотрим вектор , проверим, принадлежит ли он W, т.е.равно ли скалярное произведение нулю:

,

аналогично, для и любого числа а верно:

,

т.е. W – подпространство.

Распишем координатное равенство :

.

Геометрически это уравнение определяет любую плоскость (так как а – произвольно), проходящую через начало координат. Размерность (плоскость двумерна).

Заметим, что любая плоскость и прямая, проходящие через начало координат в пространстве , являются подпространствами в . Других собственных подпространств в нет.

2. Множество решений системы линейных однородных уравнений, , где является подпространством , причем , где .

3. В пространстве непрерывных на функций множество всех дифференцируемых функций образует подпространство (так как производная суммы функций равна сумме производных, а константу можно выносить за знак производной).

4. В пространстве многочлены степени образуют пространство. Совокупность же многочленов фиксированной степени n подпространством не является (легко проверить).

5. В пространстве квадратных матриц порядка n все симметричные матрицы образуют подпространство.

6. В том же пространстве можно выделить подпространство верхнетреугольных (нижнетреугольных) матриц.

Легко проверить, что все рассмотренные пространства содержат нулевой элемент и, вместе с каждым элементом х подпространства, противоположный элемент – х. Этот факт является общим для всех подпространств (следует из определения).

Рассмотрим теперь множество решений неоднородной системы линейных уравнений , , , . Мы знаем, что общее решение этой системы записывается в виде:

,

где – общее решение однородной системы, а – частное решение неоднородной системы (любое). Множество решений неоднородной системы устроено так: надо взять подпространство решений однородной системы и “сдвинуть” его на произвольный вектор – решение неоднородной системы. Это множество не является подпространством (например, нуль-вектор в него не входит).

В пространстве мы приводили примеры подпространств – плоскости и прямые, проходящие через начало координат. В то же время, плоскости или прямые, не проходящие через начало координат, не являются подпространствами, но по своим свойствам похожи на соответствующие подпространства. Они получены параллельным сдвигом в пространстве.

Пусть W – подпространство пространства V, а – фиксированный вектор, вообще говоря,
не принадлежащий W. Тогда совокупность Н всех таких векторов х, что , где у – пробегает все подпространство W, называют сдвигом подпространства W. Множество Н, вообще говоря, не является подпространством.

Важным примером подпространства является линейная оболочка векторов.

Определение. Пусть – система векторов из пространства V. Совокупность всех линейных комбинаций , где – действительные числа, называется линейной оболочкой системы векторов . Обозначим линейную оболочку .