Матрица линейного оператора

Пусть в пространстве V выбран некоторый базис . Линейный оператор А полностью определится своим действием на векторы базиса . Действительно, любой вектор можно представить в виде . Пусть А – некоторый линейный оператор, действующий в пространстве V, тогда

.

Векторы не зависят от х, а зависят только от базиса и преобразования А. Каждый из векторов можно разложить по базису (как и любой вектор пространства V)

.

Запишем координаты вектора по базису в i -й столбец матрицы А.

.

Таким образом, если задано линейное преобразование и в пространстве V выбран некоторый базис , то линейному оператору А отвечает некоторая квадратная матрица А порядка n, столбцами которой служат координаты векторов . Эта матрица называется матрицей линейного оператора А в базисе . Обозначать матрицу оператора А мы будем той же буквой А, или , чтобы подчеркнуть, что матрица оператора зависит от выбора базиса.

Найдем теперь координаты вектора .

Сравнивая коэффициенты при базисных векторах ,получим , .

Таким образом, координаты вектора-образа линейно выражаются через координаты прообраза х и матрицу оператора А:

.

Эту запись будем называть матричной формой записи линейного оператора в базисе .

Рассмотрим несколько примеров.

1. Матрица тождественного (единичного) оператора в любом базисе имеет вид:

.

Так как ее i -й столбец (1 стоит на i -м месте).

2. Матрица оператора подобия (диагонального оператора) имеет вид:

.

3. Пусть V – пространство многочленов от х степени . Найдем матрицу оператора дифференцирования в базисе , , , …, .

,

,

,

,

.

Матрица оператора D в этом базисе имеет вид: .

Сменим базис и найдем матрицу того же оператора дифференцирования D в базисе : , , , ,…, .

,

,

,

,

.

Матрица оператора в базисе имеет вид: .

4. Рассмотрим в евклидовом пространстве оператор , , где – стандартный базис, , т.е. Р – оператор проектирования на линейную оболочку . Для каждого базисного вектора , , имеем (единица стоит на k -м месте). Если же , то . Тогда матрица оператора Р:

.

Так, если проектирует трехмерный вектор на плоскость ХОУ, то , , , а матрица .

5. Матрица оператора поворота плоскости на угол против часовой стрелки в стандартном базисе :

–

уже знакомая нам ортогональная матрица.

Итак, каждому линейному оператору , где V – n -мерное пространство, в заданном базисе соответствует квадратная матрица n -го порядка. Покажем, что такое соответствие является взаимнооднозначным, т.е. каждой квадратной матрице порядка n отвечает некоторое линейное преобразование в заданном базисе.

Пусть в пространстве V выбран некоторый базис и задана квадратная матрица А порядка n. Пусть . Поставим в соответствие вектору х вектор такой, что , т.е.

,

здесь и координаты прообраза х и образа у в базисе .

Так заданный оператор является линейным (легко проверяется). Найдем матрицу построенного оператора, пользуясь введенным правилом.

, ,

т.е. матрица совпадает с заданной матрицей А. Значит каждая квадратная матрица является матрицей некоторого линейного оператора. Итак, выбор базиса в n -мерном пространстве V устанавливает взаимно однозначное соответствие между линейными операторами, действующими в этом пространстве и квадратными матрицами порядка n.

Как уже говорилось, матрица оператора зависит от выбранного в пространстве базиса. Определим, как меняется матрица оператора с изменением базиса. Связь старого (исходного) базиса и нового задается матрицей перехода С. Следующая теорема устанавливает связь между матрицами одного и того же линейного оператора в различных базисах.

Теорема. Пусть и два базиса в n- мерном линейном пространстве V, С – матрица перехода от к , и – матрицы оператора А в этих базисах. Тогда .