![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
1. В пространстве тройка векторов
представляют базис, а координатами любого вектора по этому базису являются проекции вектора на координатные оси.
2. Стандартным базисом в пространстве Rn служит система линейно независимых векторов ;
, …,
и каждый вектор
,
.
3. В пространстве многочленов степени функции
образуют базис. Линейная независимость этой системы уже проверялась. Координаты любого многочлена
по данному базису равны
. Введение базиса позволяет перейти от линейных операций над векторами линейного пространства к операциям над их координатами, т.е. к привычным операциям над числами.
Теорема. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются,
при умножении вектора на число все координаты его умножаются на то же число.
Перейдем к понятию размерности пространства.
Изучая аналитическую геометрию, мы заметили, что на прямой не существует двух линейно независимых векторов; на плоскости любая пара неколлинеарных векторов линейно независима, но каждые три вектора уже линейно зависимы; в пространстве же существуют линейно независимые тройки векторов (неколлинеарных), но уже любые четыре вектора линейно зависимы. Упомянутые пространства отличаются своей размерностью.
При изучении пространства Rn (юнита 1) мы убедились, что в пространстве можно выбрать различные базисы. Все они обладают важным свойством – число их векторов одинаково.
Это свойство справедливо для любого линейного пространства V.
Определение.Число векторов во всех базисах пространства V одинаково. Это число называется размерностью пространства V и обозначается .
Если , то любые n линейно независимых векторов пространства V образуют базис. Поэтому прямая линия – одномерное пространство, плоскость – двумерна, а привычное нам пространство – трехмерно.
Если в пространстве можно выбрать любое число линейно независимых векторов, то его называют бесконечномерным.
В пространстве многочленов степени не выше n есть базис из
векторов, потому размерность этого пространства равна
. Пространство же всех непрерывных на отрезке
функции
не является конечномерным. Мы будем рассматривать пространства, имеющие конечные базисы.
Пример 1. В пространстве рассмотрим два базиса. Базис
:
,
(неколлинеарные) и
:
,
. Найдем координаты вектора
в каждом базисе. Очевидно, вектор
, значит его координаты в базисе
. В то же время
, а значит
.
Пример 2. Рассмотрим совокупность всех квадратных матриц 2-го порядка . Как уже говорилось, они образуют линейное пространство. Покажем, что его размерность равна 4. Действительно, система матриц
,
,
,
линейно независима,
а матрица – линейная комбинация
. Система матриц
– базис пространства, числа
– координаты матрицы А в этом базисе. Базис состоит из
4 элементов, следовательно, пространство четырехмерно. Заметим, что пространство квадратных матриц порядка n имеет размерность .
Пример 3. В пространстве V многочленов степени , функции
,
,
образуют базис.
Проверим их линейную независимость
,
.
.
Отсюда следует: .
Мы показали, что размерность пространства V многочленов степени равна 3, потому
– базис пространства V.
Найдем координаты многочлена в базисе
.
или
.
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в многочлене слева и справа, получаем
.
Отсюда, ,
,
– координаты многочлена
в базисе
:
. Заметим, что в стандартном базисе
многочлен
имеет координаты
.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 363 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!