Базис и координаты. Размерность пространства

Понятие базиса пространства Rⁿ уже обсуждалось ранее. Аналогично определяется базис любого линейного пространства.

Определение. Конечная система векторов называется базисом линейного пространства V, если:

а) векторы линейно независимы;

б) любой вектор пространства V представляется в виде линейной комбинации векторов базиса:

. (*)

Коэффициенты разложения (*) определяются однозначно и называются координатами вектора в базисе . Действительно, в противном случае, если и , где для некоторых , то вычитая почленно получим , нулевую линейную комбинацию векторов , где не все коэффициенты равны нулю.
Это противоречит условию линейной независимости системы {f}.

Из единственности разложения следует что два вектора равны, если совпадают их координаты по любому базису.