![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть векторы из линейного пространства V;
– действительные числа. Вектор
называют линейной комбинацией
.
Очевидно, при ,
. Но может быть, что линейная комбинация y= 0, хотя не все коэффициенты ci обращаются в нуль. Тогда говорят, что
линейно зависимы.
Определение. Векторы называют линейно зависимыми, если существуют числа
, не все равные нулю и такие, что
. (*)
Если же равенство (*) возможно только при , то
– линейно неза в исимы. Например, на плоскости два вектора
и
линейно зависимы тогда и только тогда, когда
и
коллинеарны. В пространстве же линейная независимость векторов эквивалентна их некомпланарности.
Как было показано (юнита 1), система векторов
из арифметического пространства Rn линейно независима.
Рассмотрим несколько примеров линейно независимых систем векторов в пространстве – непрерывно дифференцируемых функций на отрезке
.
Пример 1. Пара функций ,
линейно независимы на любом отрезке
. Действительно, составим линейную комбинацию, приравняем ее 0-вектору пространства
. Нулевым элементом этого пространства является функция, принимающая значение нуль во всех точках отрезка
, т.е.
(отрезок оси ОХ).
.
Это равенство должно выполняться для всех х из . Пусть х= 0 сначала, затем положим
(считаем, что 0 и
принадлежат
), получаем:
,
.
Условие линейной независимости выполнено.
Система же функций в том же пространстве ,
,
– линейно зависима, т.к. имеет место тождество
, здесь
,
,
.
Пример 2. Рассмотрим пространство многочленов степени . Система функций 1; х;
;
линейно независима.
Составим их линейную комбинацию, приравняем нуль – вектору и найдем коэффициенты ,
,
,
:
.
Продифференцируем последовательно три раза последнее равенство, учитывая, что производные нуль-функции равны нулю тождественно, получаем
.
Отсюда получаем .
Заметим, что вообще система функций линейно независима в пространстве многочленов степени
, при любом
Отсюда следует, что многочлен степени n тождественно равен нулю тогда и только тогда, когда все его коэффициенты равны нулю, а два многочлена степени n равны, если совпадают их коэффициенты при одинаковых степенях х.
В дальнейшем мы познакомимся и с другими линейно независимыми системами в .
Лемма 1. Если среди векторов имеются линейно зависимые, то и вся система линейно зависима.
Действительно, если линейно зависимая подсистема, то существует нетривиальная линейная комбинация из этих векторов равная нуль-вектору:
(не все Сi равны нулю). (*)
Тогда приписав к (*) остальные векторы системы с нулевыми коэффициентами, получим
(**)
и линейная комбинация (**) тоже нетривиальна. Таким образом всякая подсистема линейно независимой системы векторов линейно независима.
Лемма 2. Вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из них есть линейная комбинация других. Доказательство очевидно сразу же следует из определения линейной зависимости.
Лемма 3. Если в систему векторов входит 0-вектор, то она линейно зависима, так как существует, например, линейная комбинация , где С – любое,
.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 333 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!