Кривые второго порядка

Эллипс

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек и этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

При этом не исключается совпадение фокусов. Очевидно, если фокусы совпадают, то эллипс представляет собой окружность.

Рис. 12

Каноническое уравнение эллипса имеет вид

. (5.1)

Величины и называются соответственно большой и малой полуосями эллипса

Замечание. В предельном случае, когда эллипс представляет собой окружность радиуса

Пусть , тогда фокусы и находятся на оси на расстоянии от центра.

Определение. Эксцентриситетом эллипса называется величина

Замечание. Учитывая связь величины с длинами и большой и малой полуосей эллипса, легко получить следующее выражение для эксцентриситета :

Пример 36. Написать каноническое уравнение эллипса, если известно, что:

1) расстояние между фокусами равно 8, а малая полуось 2) большая полуось а эксцентриситет 3) расстояние между фокусами равно 6, а эксцентриситет 4) расстояние между фокусами равно 6, а 5) расстояние между фокусами равно а

Решение. 1) Так как расстояние между фокусами равно 8 имеем . Найдем большую полуось эллипса по формуле . Имеем . Тогда каноническое уравнение эллипса принимает вид

2) Найдем из формулы . Определим меньшую полуось эллипса по формуле . Тогда Каноническое уравнение эллипса имеет вид

3) По условию . По формуле найдем большую полуось эллипса Меньшая полуось . Каноническое уравнение эллипса

4) По условию . Из равенства выразим и подставим в равенство . Получаем и Каноническое уравнение эллипса принимает вид

5) Из условия находим . Из равенства выразим и подставим в равенство . Получим откуда и . Каноническое уравнение запишется в виде

Пример 37. Эллипс проходит через точки и . Написать его каноническое уравнение.

Решение. Так как эллипс проходит через точки , , их координаты удовлетворяют каноническому уравнению эллипса. Имеем:

Уравнение эллипса имеет вид