Уравнение плоскости по точке и двум неколлинеарным векторам

Пусть в пространстве задана точка и два неколлинеарных вектора и . Через данную точку параллельно данным векторам можно провести единственную плоскость . Возьмем произвольную точку в плоскости . Векторы , и компланарны, т.е. искомое уравнение плоскости

. (3.4)

Пример 29. Написатьуравнение плоскости, проходящей через точку и параллельной двум векторам , .

Решение. Векторы и неколлинеарны, т.к. их координаты непропорциональны. Следовательно, можно воспользоваться уравнением (3.4). Получим

.

Вычисляя определитель, имеем . Приведем подобные члены и получим общее уравнение плоскости .

3.5 Уравнение плоскости в «отрезках на осях»

Пусть на координатных осях заданы точки, отличные от начала координат на оси на оси , на оси . Тогда уравнение плоскости, в отрезках на осях имеет вид

(3.5)

где – отрезки, отсекаемые плоскостью соответственно на осях , и (рис. 10).

Пример 30. Написать уравнение плоскости, отсекающей на осях , и отрезки длиной 3, 6 и 4 соответственно.

Решение. Применим уравнение (3.5). В нашем случае Имеем . Умножим обе части уравнения на 12, чтобы избавиться от дробей. Тогда получим общее уравнение плоскости

Рис. 10

Пример 31. Написать уравнение плоскости Р, проходящей через точки , параллельно вектору

Решение. Воспользуемся уравнением плоскости по точке и двум векторам. Векторы и неколлинеарны, следовательно, используя формулу (3.4) запишем уравнение плоскости в виде

.

Вычисляя определитель, получим

,

или . Так как в последнем уравнении отсутствует свободный член, то плоскость проходит через начало координат.