Поняття нескінченно малої та нескінченно великої послідовності

Означення.

Послідовність називається нескінченно великою послідовністю, якщо для будь-якого як завгодно великого числа існує такий номер , залежний від , що всі елементи цієї послідовності з номером задовольняють умові:

.

Примітка.

Вочевидь, що кожна нескінченно велика послідовність є необмеженою, але не кожна необмежена послідовність є нескінченно великою.

Приклад 5.

Послідовність є нескінченно велика, а також необмежена.

Послідовність необмежена, але вона не нескінченно велика.

Означення.

Послідовність називається нескінченно малою, якщо для будь-якого як завгодно малого додатнього числа існує такий номер , що усі елементи цієї послідовності з номером задовольняють умові:

.

Приклад 6.

Послідовність є нескінченно малою. Доведемо це.

Виберемо будь-яке додатьнє як завгодно мале число . Розглянемо нерівність:

.

Вочевидь, , тоді . Розв’яжемо отриману нерівність відносно .

; ; ; .

Значить, . Покладемо , тоді , а якщо , то .

Таким чином, показано, що для будь-якого можна знайти такий номер , що усі елементи з номером задовольняють умові:

.

Виходить, - нескінченно мала послідовність.