, 
в одной и той же системе координат, называются сопряженными.
Пример 13. Составить каноническое уравнение гиперболы, проходящей через точки М 1(6,-1) и М 2(-8,2 
), и найти ее асимптоты.
Решение. Подставляя координаты точек М 1 и М 2 в уравнение (15), получаем систему двух уравнений относительно неизвестных полуосей гиперболы a и b:
, 
.
Из этой системы находим а 2 = 32, b 2 =8. Таким образом, действительная полуось гиперболы a= 
, а мнимая полуось b = 
. Искомое уравнение гиперболы 
. Асимптоты определяются по формуле y = 
x = 
x = 
. ■
Пример 14. Найти координаты фокусов гиперболы 
, а также расстояния от точки М (-5, 
) до фокусов гиперболы.
Решение. Имеем с = 
= 
, так что расстояние между фокусами равно 2 с = 10, а координаты фокусов F 1(-5,0) и F 2(5,0).
Точка М (-5, ) принадлежит гиперболе (в чём легко убедиться подстановкой её координат в уравнение гиперболы), поэтому искомые расстояния до фокусов вычисляем по формулам (16), полагая в них a = 4, эксцентриситет e = 
: MF 1 =| ×(-5) + 4| = 
; MF 2 =| ×(-5) - 4| = 
. ■
Замечание. Если в уравнении (15) a = b, то гиперболу в этом случае называют равнобочной; ее уравнение имеет вид x 2 - y 2 = а 2; асимптоты y = x и y = - x взаимно перпендикулярны; эксцентриситет равен . Если взять асимптоты равнобочной гиперболы в качестве новых осей координат, то в такой системе координат 
гипербола представляет собой график обратной пропорциональной зависимости с уравнением 
, где k= 
.
2.4. Парабола.
Параболой называется линия, для каждой точки которой расстояние до фиксированной точки F (фокуса) равно расстоянию до данной прямой, называемой директрисой.
Расстояние FС = р от фокуса до директрисы называется параметром параболы.
Введем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через фокус данной параболы перпендикулярно директрисе и была направлена от директрисы к фокусу; начало координат О расположим посередине между фокусом и директрисой, так что FО=ОС = 
(рис. 8).
А) Рис. 8 б)
