В этой системе координат парабола будет определяться уравнением

y ² = 2 px. (17)

Уравнение (17) называется каноническим уравнением параболы (оно получается из равенства FМ=МК). В этой же системе координат фокус данной параболы F (,0), а директриса имеет уравнение x = . Фокальный радиус произвольной точки М (x, y) параболы (то есть длина отрезка FМ) может быть вычислен по формуле MF = x + .

Уравнение x² = 2py или же y = аx² (где а= ), так же как и уравнение (17) представляет параболу, только в этом случае ось параболы совпадает с осью ординат и парабола расположена так, как показано на рис. 8(б). Её фокус F(0, ), а директриса имеет уравнение y= . Если в уравнении y=аx² коэффициент а отрицателен, то ветви параболы направлены вниз.

Пример 15. Составить уравнение параболы, проходящей через начало координат, точку М (1,-2) и симметричной относительно оси абсцисс; написать уравнение директрисы; найти фокальный радиус точки М.

Решение. Подставив координаты точки М (x = 1, y = -2) в уравнение y ² = 2 px, получим 4=2 p× 1, р =2, так что уравнение параболы y ² = 4 x. Уравнение директрисы x = -1. Фокальный радиус MF =1+ 1 =2. ■