Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Рассмотрим далее частные случаи общего уравнения плоскости



Если D= 0, то уравнение Аx+By+Cz= 0 определяет плоскость, проходящую через начало координат. Другие частные случаи определяются расположением нормального вектора = (А,B,C). Так, например, если А= 0, то уравнение By+Cz+D= 0 определяет плоскость, параллельную оси Ox (и проходящую через ось Ox, если D= 0); если А=B= 0, то уравнение Cz+D= 0 определяет плоскость, параллельную плоскости Oxy (в частности, z = 0 - уравнение самой плоскости Oxy).

Двугранный угол между двумя плоскостями, заданными своими общими уравнениями

А 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0,

А 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, (22)

равен углу j между их нормальными векторами =(А 1 ,B 1 ,C 1) и = =(А 2 ,B 2 ,C 2) и определяется по формуле

cos j = = ; (23)

угол j лежит в пределах от 0 до p; другой двугранный угол, образованный двумя пересекающимися плоскостями, равен p - j.

Пример 17. Найти угол между плоскостями, заданными уравнениями 3 x-y- 2 z +250 = 0 и x -2 y+z -111 = 0.

Решение. Находим косинус угла между нормальными векторами =(3,-1,-2) и =(1,-2,1):

cos j = = ;

отсюда j=arccos . Другой двугранный угол равен 180°-71°=109°. ■

Две данные плоскости (22) перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы =(А 1 ,B 1 ,C 1) и =(А 2 ,B 2 ,C 2) перпендикулярны между собой, откуда скалярное произведение (, )=0 или =0. Например, плоскости 3 x - y +2 z -31 = 0 и 5 x+ 3 y -6 z +1 = 0 перпендикулярны, так как 3×5+(-1) ×3+2×(-6)=0. Две данные плоскости параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы и коллинеарны, т.е. при выполнении условия .

Пример 18. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 0(1,-1,0) и параллельной плоскости 2 x +3 y- 4 z -1 = 0.

Решение. Так как у параллельных плоскостей один и тот же нормальный вектор =(2,3,-4), то искомое уравнение имеет вид 2(x -1)+3(y+ 1)-4(z- 0)=0 или 2 x +3 y- 4 z +1 = 0. ■

3.3 [кроме ФЭУ] .Прямая линия в пространстве.

Линия в пространстве определяется совместным заданием двух уравнений F (x,y,z)=0, F (x,y,z)=0 как пересечение двух поверхностей, задаваемых этими уравнениями.

Так, прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей, т.е. как множество точек, удовлетворяющих системе

Если прямая в пространстве параллельна вектору = (а 1, а 2, а 3) (называемому направляющим вектором) и проходит через точку M 0(x 0 ,y 0 ,z 0), то её уравнения могут быть получены из условия коллинеарности векторов = (x-x 0, y-y 0, z-z 0) (где M (x,y,z) - произвольная точка прямой) и = (а 1, а 2, а 3):

. (24)

Уравнения (24) называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.

Пример 19. Составить уравнения прямой, проходящей через точки M 0(1,-1,3) и M 1(0,3,5).

Решение. Воспользуемся уравнениями (24), взяв в качестве направляющего вектора = (0-1,3-(-1),5-3) или = (-1,4,2):

.





Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 254 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.008 с)...