Уравнение плоскости, записанное в виде

Аx + By + Cz + D = 0 (19)

(где D = - Аx ₀ - By ₀ - Cz ₀), называется общим уравнением плоскости. Так, в предыдущем примере уравнению можно придать вид 2 x+ 5y-z+4 = 0.

Замечание. Всякое уравнение вида (19) (где хотя бы одно из чисел А, В, С не равно нулю) задает плоскость в пространстве и, наоборот, уравнение любой плоскости есть уравнение первой степени.

Отметим, что уравнение (, )=0 можно применить для вывода уравнения плоскости в пространстве, заданной тремя точками M ₁(x ₁ ,y ₁ ,z ₁), M ₂(x ₂ ,y ₂ ,z ₂), M ₃(x ₃ ,y ₃ ,z ₃), не лежащими на одной прямой. Так, взяв в качестве нормального вектора = - векторное произведение на , а в качестве M ₀ точку M ₁, получим

(, ) = 0,

что приводит к уравнению плоскости в форме определителя:

. (20)

В частности, если плоскость не проходит через начало координат и пересекает координатные оси в точках M ₁ (a,0,0), M ₂ (0, b,0), M ₃ (0,0, c), то уравнение (20) приводится к виду

, (21)

называемому уравнением плоскости «в отрезках».