Плоскость в пространстве. Пусть плоскость проходит через точку M0(x0,y0,z0) перпендикулярно вектору =(А,B,C)

Пусть плоскость проходит через точку M ₀(x ₀ ,y ₀ ,z ₀) перпендикулярно вектору =(А,B,C). Этими условиями определяется единственная плоскость в пространстве Oxyz. Вектор называется нормальным вектором плоскости. Для произвольной точки плоскости M (x,y,z) («текущей точки») векторы = (x-x ₀, y-y ₀, z-z ₀) и должны быть перпендикулярны. Следовательно,

скалярное произведение этих векторов равно нулю, т.е. (, )=0. Полученное уравнение представим в координатной форме:

А (x- x ₀) + В (y- y ₀) + C (z- z ₀) = 0. (18)

M

M0

Уравнение (18) представляет уравнение плоскости, перпендикулярной данному вектору = (А,B,C) и проходящей через данную точку M ₀(x ₀ ,y ₀ ,z ₀) (рис. 9).

y

x

Рис. 9

Пример 16. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M ₀(-1,0,2) и перпендикулярной вектору = (2,5,-1).

Решение. Искомое уравнение имеет вид 2(x+ 1)+5(y- 0)-1(z- 2)=0. ■