![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Ax 2+ Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, (11)
если хотя бы одна из трех величин A, B или C не равна нулю, называется уравнением второго порядка, а линия, представляемая таким уравнением, - кривой второго порядка. Частными случаями линий, определяемых общим уравнением (11), являются окружность, эллипс, гипербола и парабола.
2.1. Окружность.
Пусть дана окружность радиуса R с центром в точке М 0(x 0, y 0). Найдем ее уравнение. Для любой точки М (x, y), принадлежащей окружности, расстояние от центра до этой точки постоянно и равно радиусу окружности R, то есть ММ 0 =R (для точек, не лежащих на окружности, это равенство выполняться не будет). Из формулы для определения расстояния между двумя точками следует R= (рис. 5).
Таким образом, уравнение рассматриваемой окружности имеет вид:
|
|
|
М 0(0,-3).
Рис. 5
Решение. В данном случае x 0 = 0, y 0 = -3,
R= 4, поэтому уравнение окружности имеет вид . ■
Пример 10. Выяснить геометрический смысл уравнения x 2+ y 2+6 x- 2 y+ 5=0.
Решение. Выделим в левой части уравнения полные квадраты: (x 2+6 x+ 9)+(y 2-2 y+ 1)+5-9-1=0. Отсюда . Таким образом, данное уравнение представляет собой уравнение окружности радиуса R=
с центром в точке (-3,1). ■
2.2. Эллипс.
Эллипсом называется линия, для каждой точки которой сумма расстояний до двух фиксированных точек F 1 и F 2 (фокусов) есть постоянная величина, обозначаемая 2 а.
Если оси декартовой системы координат выбраны так, что фокусы данного эллипса располагаются на оси абсцисс симметрично относительно начала координат на расстоянии 2 с друг от друга, то в этой системе координат уравнение эллипса имеет простейший вид
. (13)
Уравнение (13) называется каноническим уравнением эллипса (оно может быть получено путем несложных алгебраических преобразований из равенства MF 1+ MF 2 = 2 a). Здесь а - большая полуось, b- малая полуось эллипса; фокусы F 1 и F 2 находятся на расстоянии с = от центра эллипса О (при этом предполагается, что a > b). Отношение
= e называется эксцентриситетом эллипса (e < 1).
|
|
|
|
MF 1 = a + e x, MF 2 = a- e x. (14)
|
Частный случай эллипса. При этом Рис. 6
эксцентриситет окружности e = 0.
Пример 11. Составить уравнение эллипса, симметричного относительно осей координат и проходящего через точки М 1(4,- ) и М 2(2
,3), а также найти расстояние между фокусами и эксцентриситет эллипса.
Решение. Подставляя координаты точек М 1 и М 2 в уравнение (13), получаем систему двух уравнений:
,
.
Решая эту систему находим полуоси a= и b =
. Искомое уравнение эллипса
. Находим, далее, с =
и расстояние между фокусами 2 с =2
. Эксцентриситет эллипса e =
=
=
=0,5. ■
Пример 12. Убедившись, что точка М (-4; 2,4) лежит на эллипсе , определить фокальные радиусы точки М.
Решение. Подставляя координаты точки М в уравнение эллипса , получаем верное равенство, доказывающее, что М - точка эллипса. Фокальные радиусы точки М находим по формулам (14), полагая a= 5, b =4, с =
=
=3, e =
=
:
MF 1 = a + ex = 5+ ×(-4) = 2,6; MF 2 = a-ex = 5-
×(-4) = 7,4. ■
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 362 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!