Окончательно уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, записываем в виде

= . (4)

Пример 3. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А(1,2) и В(-1,3).

Решение. Искомое уравнение, согласно (4), имеет вид , откуда x + 2 y - 5 = 0. ■

Задача 2. Угол между двумя прямыми.

Пусть даны уравнения двух прямых (не параллельных оси Oy) y=k ₁ x+b ₁и y = k ₂ x+b ₂, причем, k ₁ = и k ₂ = (k ₁ < k ₂). Тангенс угла j

y=k 2 x+b 2

φ

y=k 1 x+b 1

y

между положительными направлениями этих прямых (0 < j < p) можно определить из соотношения (рис. 3)

α 2

α 1

Рис. 3 = = = . (5)

x

Замечание. Очевидно, второй угол, образованный прямыми, равен p -j.

Пример 4. Найти угол между положительными направлениями прямых y = 2 x + 51 и y = 3 x - 19.

Решение. Здесь k ₁ = 2, k ₂ = 3, k ₁ < k ₂. По формуле (5) = = ; искомый угол j = . ■

Пример 5. Найти углы между прямыми y = x - 6 и x = 2.

Решение. Здесь пользоваться формулой (5) невозможно, т.к. прямая x = 2 не имеет углового коэффициента. Так как угол наклона первой прямой к оси Ox может быть найден из определения углового коэффициента: = и j= 60°, то угол между положительным направлением этой прямой и положительной полуосью Oy равен 90°-60°=30°. Следовательно, и один из искомых углов равен 30° (другой угол равен 180°-30°=150°). ■

Задача 3. Использование условия перпендикулярности двух прямых.

Даны две прямые y=k ₁ x+b ₁и y=k ₂ x+b ₂. Если эти прямые перпендикулярны, то угол наклона одной из них должен отличаться от угла наклона другой на 90°, т.е. a ₂ = a ₁ + 90°. Тогда = = = = . Таким образом, необходимым и достаточным условием перпендикулярности прямых является условие или k ₁ k ₂ = -1.

Пример 6. Найти угол наклона прямой, перпендикулярной к прямой y = - x + 1.

Решение. Так как k ₁ = - , то k ₂ = , т.е. = . Отсюда находим a ₂ =30°. ■

Задача 4. Использование условия параллельности двух прямых.

Признаком параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов k ₁= k ₂, так как у параллельных прямых углы наклона к оси абсцисс одинаковы.

Замечание. Если прямые заданы общими уравнениями A ₁ x + B ₁ y + C ₁=0 и A ₂ x + B ₂ y + C ₂=0, то вместо формулы (5) для вычисления угла j между этими прямыми можно пользоваться формулой:

= . (6)

Из формулы (6) видно, что необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых в этом случае имеет вид А ₁ А ₂+ В ₁ В ₂ = 0, а условием параллельности является равенство .

Пример 7. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М₀(1,-3) параллельно прямой y = 2 x - 20.

Решение. В искомом уравнении прямой y=kx+b угловой коэффициент k равен 2. Учитывая, что прямая проходит через точку М₀, находим b: -3 = 2×1 + b; b = -5. Искомое уравнение прямой y = 2 x - 5. ■

Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой.

y

M1(x 1, y 1)

Найти расстояние d от данной точки М₁(x ₁, y ₁) до данной прямой l Ax+ By + C =0 можно по формуле (рис. 4):

l

d

d= (7)

M2(x 2, y 2)

x

Точка М₂(x ₂, y ₂) - основание перпендикуляра, опущенного из точки М₁(x ₁, y ₁) на прямую. Угловой коэффициент прямой М₁М₂ равен = .

Координаты точки М₂(x ₂, y ₂) находим из Рис. 4