Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал. Вероятность того что непрерывная случайная величина примет точное наперед заданное значение

Теорема: Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (а,b) равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b.

.

Доказательство: P(a≤X≤b)=F(b)-F(a).

По формуле Ньютона-Лейбница F(b)-F(a)=∫F'(x)dx=∫f(x)dx → P(a≤X≤b)= ∫f(x)dx.

Т.к. P(a≤X≤b)= P(a<X<b), то P(a<X<b)= ∫f(x)dx.

Геометрически полученный результат можно истолковать так: вероятность того, что

непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (а,b), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох, кривой распределения f(x) и прямыми х=а и х=b.

Для любой непрерывной случайной величины верно утверждение: вероятность того, что случайная величина примет определенное, наперед заданное значение равна нулю.