Вычисление объема и площади поверхности тела вращения с помощью определенного интеграла

Пусть тело образовано вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции аАВb, ограниченной сверху графиком непрерывной функции y=f(x). (рис 1) Нахождение объема V этого тела сведем к вычислению интеграла.

Делаем разбиение R отрезка [a,b] точками а= х₀< x₁< x₂<…< x_n=b. На отрезке [x_i, x_i+1] строим прямоугольник высотой f(x_i). При вращении этого прямоугольника получается цилиндр с радиусом основания f(x_i) и высотой ∆ x_i. Его объем равен π[f(x_i)]² ∆ x_i. Построим такие же целиндры для каждого промежутка [x₀,x₁], [x₁,x₂],…[x_n-1,x_n]. Все цилиндры в совакупности образуют тело, назовем его объем V_n.

Определение: Если существует предел V_n, когда

Стремится к нулю, не зависящей от выбора разбиений R, то этот предел называю объемом тела вращения.

Очевидно,

Данная сумма является интегральной суммой для функции,

Которая непреывна по условию. Следовательно, интеграл сществует. Формула для объема тела вращения имеет вид:

Площадь поверхности вращения.

Если площадь поверхности, образованной вращением кривой АВ (рис 1) задана непрерывна дифференцируемой функций y=f(x), обазначить через Р, то