Определенный интеграл. Определение. Геометрический смысл

Определение: Пусть дана функция y=f(x), ограниченная на отрезке [a,b] (a<b). Сделаем разбиение R этого отрезка точками х_i: а< х₀< x₁< x₂<…< x_n,=b. Обозначим

На каждом промежутке [x_i, x_i+1] выберем произвольную точку ξ_i. Величину

Называют интегральной суммой.

Если существует предел интегральной суммы s_R при λ_R →0. Независящий от выбора разбиений R и выбора точек ξ_i, то он называется определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a,b] и обозначается (1)

Добавление к определению:

1. При a>b полагают

2. принимают

В интеграле (1) числа a и b называются соответственно нижними и верхними пределами интегрирования. Если функция f(x) ≥0 на отрезке [a,b], то геометрический смысл определенного интеграла - это площадь криволинейной трапеции. Пусть на промежутке [a,b] задана ограниченная функция y=f(x), будем считать ее положительной.(рис 1)

Фигура aABb, ограниченная графиком функции y=f(x), отрезком [a,b] оси х и перпендикулярами аА и bB к оси х, называется криволинейной трапецией. Измерить ее площадь непосредственно путем установления того, сколько раз в этой фигуре укладывается единица измерения площади (квадрат со стороной, равной единице), и доли этой единицы невозможно из-за криволинейной верхней границы.

Разобьем отрезок [a,b] на части (не обязательно равные) точками х_i (i = 0,n): а= х₀< x₁< x₂<…< x_n=b. Это разбиение назовем R. Длину наибольшего отрезка назовем

На каждом из частичных отрезков [x_i, x_i+1] выберем произвольную точку

И построим прямоугольник с высотой f(ξ_i). В результате получится ступенчатая фигура, ограниченная сверху ломаной линией L. Ее площадь назовем s_R. Если теперь увеличивать число делений разбиения R так, что бы λ_R →0, то ломаная L будет все теснее прижиматься к кривой АВ. Это дает возможность ввести следующее определние.

Определение: Площадью криволинейной трапеции aAАb называется предел, к которому стремится площадьs_R ступенчатой фигуры когда число делений разбиения R не ограничено возрастает и λ_R →0 (Если этот предел существует и не зависит от способа получения разбиения R и выбора точек ξ_i).