Предел и непрерывность функции двух переменных

Определение: Число А называется пределом по совакупности переменных функции f(x,y) при стремлении х к х₀ и у к у₀, если для любого ε>0 существует такое δ>0, что для всех точек (x,y), координаты которых удовлетворяют неравенствам │ х - х₀ │< δ, │ y - y₀ │< δ (за исключением, быть может, точки (х₀, y₀)), выполняется неравенство │f(x,y)-A│ < ε. Применяется обозначение

Заметим, что точка (х₀, y₀) может не принадлежать ООФ f(x,y).

Пусть функция f(x,y) определена в области D.

Определение. Если выполняются три условия:

1. (х₀, y₀)Î D;

2. существует

3.

то функция называется непрерывной в точке (х₀, y₀).

Определение: Если не выполняется хотя бы одно из этих условий, то функцию называют разрывной в точке (х₀, y₀), а саму точку называют точкой разрыва.

Определение: Функция называется непрерывной в области, если она непрерывна в каждой точке этой плоскости.

Определение: Функция z = f(x,y) называется непрерывной в точке (х₀, y₀), если при стремлении к нулю приращений ∆х, ∆у, независимых переменных стремится к нулю полное приращение ∆z функции f(x,y) (здесь предполагается выполнение условий 1 и 2.) (∆z - полное приращение).