Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Вычисление площади фигуры и длины дуги с помощью определенного интеграла




f(x)≥0

Рассмотрим два случая.

1. площадь S заштрихованной фигуры на рис 1, а, где функция y=f(x) на отдельных промежутках принимает отрицательное значение, выражается формулой:


 
 

2. Площадь S фигуры ограничена графиками функции y=f(x) и y=g(x), а так же прямыми АВ и CD (рис 2) вычисляется по формуле:

 
 

Определение: Пусть дана дуга кривой АВ. Нанесем на нее произвольные точки Mi (i=0,n) и соединим их хордами (рис 3). Периметр полученной ломаной обозначим Pn. Будем увеличивать число точек Mi на дуге. Длиной дуги кривой АВ называется предел периметра Pn, когда длина наибольшей хорды стремится к нулю (если этот предел существует и не зависит от выбора вершин ломаной). Если дуга задана уравнением y=f(x) на промежутке [a,b] (ищем длину дуги l). Будем считать функцию f(x) непрерывно дифференцируемой. Положенеи произвольных точек Mi определим выбрав абциссы этих точек, т.е. сделав разбиение R отрезка [a,b] точками а= х0< x1< x2<…< xn=b. Длину хорды, соединяющей точки Mi и Mi+1 обозначим ∆li.Ее проекциями на оси координат будут ∆хi ∆уi. Очевидно,


Покажем, как нахождение предела периметра Pn сводится к вычислению интеграла. Представим ∆li в нужном виде:

По формуле конечных приращений Лагранжа



Поставив это выражение ∆уi в формулу ∆li, полуим

 
 

Таким образом (1),

 
 

Если составить интегральную сумму для функции


с полученными выше точками ξi, то придем к выражению (1), т.е.

 
 

кроме того стремление к нулю наибольшей хорда ∆li влечет за собой стремление к нулю

 
 

поэтому

(если этот предел существует).


Но по нашим предположениям функция f'(x), а следовательно и функция g(x) непрерывна. Непрерывная функция интегрируема, значит, упомянутый предел существует. Мы доказали, что

 
 

Подставляя выражение g(x), получаем формулу длины дуги:





Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 363 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.007 с)...