Вычисление площади фигуры и длины дуги с помощью определенного интеграла

f(x)≥0

Рассмотрим два случая.

1. площадь S заштрихованной фигуры на рис 1, а, где функция y=f(x) на отдельных промежутках принимает отрицательное значение, выражается формулой:

2. Площадь S фигуры ограничена графиками функции y=f(x) и y=g(x), а так же прямыми АВ и CD (рис 2) вычисляется по формуле:

Определение: Пусть дана дуга кривой АВ. Нанесем на нее произвольные точки M_i (i=0,n) и соединим их хордами (рис 3). Периметр полученной ломаной обозначим P_n. Будем увеличивать число точек M_i на дуге. Длиной дуги кривой АВ называется предел периметра P_n, когда длина наибольшей хорды стремится к нулю (если этот предел существует и не зависит от выбора вершин ломаной). Если дуга задана уравнением y=f(x) на промежутке [a,b] (ищем длину дуги l). Будем считать функцию f(x) непрерывно дифференцируемой. Положенеи произвольных точек M_i определим выбрав абциссы этих точек, т.е. сделав разбиение R отрезка [a,b] точками а= х₀< x₁< x₂<…< x_n=b. Длину хорды, соединяющей точки M_i и M_i+1 обозначим ∆l_i.Ее проекциями на оси координат будут ∆х_i ∆у_i. Очевидно,

Покажем, как нахождение предела периметра P_n сводится к вычислению интеграла. Представим ∆l_i в нужном виде:

По формуле конечных приращений Лагранжа

Поставив это выражение ∆у_i в формулу ∆l_i, полуим

Таким образом (1),

Если составить интегральную сумму для функции

с полученными выше точками ξ_i, то придем к выражению (1), т.е.

кроме того стремление к нулю наибольшей хорда ∆l_i влечет за собой стремление к нулю

поэтому

(если этот предел существует).

Но по нашим предположениям функция f'(x), а следовательно и функция g(x) непрерывна. Непрерывная функция интегрируема, значит, упомянутый предел существует. Мы доказали, что

Подставляя выражение g(x), получаем формулу длины дуги: