Теорема Коши. Обобщением теоремы Лагранжа является теорема Коши

Обобщением теоремы Лагранжа является теорема Коши.

Теорема 9. Пусть функции f(x) и g(x) удовлетворяют следующим условиям:1) непрерывны на отрезке [a; b];

2) дифференцируемы в интервале (a; b),причемg‘(x) 0, ∀x ∈ (a;b).Тогда существует по крайней мере одна точка ξ ∈ (a; b) такая, что

Доказательство. Составим вспомогательную функцию

Заметим, что g(b) g(a). Действительно, если бы g(b) = g(a), то для функции g(x) на отрезке [a; b] были бы выполнены все условия теоремы Ролля, и по этой теореме внутри отрезка [a; b] нашлась бы по крайней мере одна точка ξ, для которой g’(ξ) = 0, что противоречит условию теоремы. Следовательно g(b) g(a).

Покажем, что вспомогательная функция (x) удовлетворяет условиям теоремы Ролля. действительно:

1) (x) непрерывна на [a; b] как сумма непрерывных на [a; b] функций;

2) (x) дифференцируема на интервале (a; b) как сумма дифференцируемых на (a; b) функций;

3) (a) = 0, (b) = 0 поэтому и (a) = (b). Найдем

По теореме Ролля существует точка ξ ∈ (a; b) такая, что (ξ) = 0, поэтому

42. Раскрытие неопределенностей вида

Остановимся на одном частном, но полезном приеме отыскания предела отношения функций, известном как правилоЛопиталя.

Теорема 10 (Неопределенность вида 0/0).Пусть:

1) функции f(x) и g(x) определены в промежутке (a; b];

3) в промежутке (a; b] существуют конечные производные f’(x) и g’(x), причем g’(x) 0; 4) существует (конечный или бесконечный) предел

Доказательство. Дополним определения функций f(x) и g(x), положив их при x = a равными нулю: f(a) = g(a) = 0. Тогда эти функции окажутся непрерывными во всем замкнутом промежутке [a; b]; их значения в точке a совпадают спределами при x → a, а в прочих точках непрерывность вытекает из существования конечных производных. Применяятеорему Коши, получим

где a < c < x. То обстоятельство, что g(x) 0, т.е. g(x) g(a) есть следствие предложения g’(x) = 0. Когда x → a, очевидно, и c → a, так что, в силу условия 4)

43. Раскрытие неопределенностей вида

Теорема 11 (Неопределенность вида ∞/∞).

Пусть: 1) функции f(x) и g(x) определены в промежутке (a; b];

3) существуют в промежутке (a; b] конечные производные f’(x) и g’(x), причем g’(x) 0;

4) существует (конечный или бесконечный) предел

Доказательство. Рассмотрим сначала случай конечного K.

Так как производная g′ (x) не обращается в нуль, то она сохраняет знак, и функция g (x) изменяется монотонно. Из условия 2) тогда ясно, что g′ (x) < 0 так как g (x) с убыванием x монотонно возрастая стремится к + ∞. Можно считать, что всегда g (x) > 0.

Взяв произвольным образом число ε > 0, в силу условия 4), найдем такое η > 0, что при a < x < a + η будет .

Положим для краткости a + η = x 0 и возьмем x между a и x 0. К отрезку [ x; x 0] применим формулу Коши , где x<c<x0 и следовательно, . Поскольку

То | .

Второе слагаемое справа для x < x 0 = a + η будет меньше ε/ 2, в силу (4.12). Ввиду того же, что g (x) → + ∞ при x → a, первое слагаемое при этом стремится к нулю, и найдется такое δ > 0 (можно считать δ < η), что для a < x <a + δ первое слагаемое тоже станет меньше ε/ 2. Для указанных значений x будем иметь тогда , что доказывает требуемое утверждение.