Теорема Лагранжа. Теорема 8.Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и дифференцируема на интервале (a; b), то существует по крайней мере одна точка ξ ∈ (a;

Теорема 8. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и дифференцируема на интервале (a; b), то существует по крайней мере одна точка ξ ∈ (a; b), такая, что

f(b) − f(a) = f’(ξ)(b − a).

Доказательство. Составим вспомогательную функцию

(x) = (b − a)f(x) –(f(b) −f(a))x. Покажем, что функция (x) удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Действительно:

1) (x) непрерывна на [a; b], так как является суммой непрерывных на [a; b] функций;

2) (x) дифференцируема на (a; b), так как является суммой дифференцируемых на (a; b) функций;

3) (a) = (b) = bf(a) − af(b). Итак, (x) удовлетворяет условиям теоремы Ролля, причем

‘(x) = (b − a)f ‘(x) – (f(b) − f(a)). По теореме Ролля существует точка ξ∈ (a; b), такая, что ‘(ξ) = 0, т.е.

(b − a)f’(ξ) –(f(b) − f(a))= 0 ⇔ f(b) − f(a) = f’(ξ)(b − a).