Теорема Ролля. Теорема 7.Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема в каждой точке интервала (a; b) и f(a) = f(b)

Теорема 7. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема в каждой точке интервала (a; b) и f(a) = f(b). Тогда существует хотя бы одна точка ξ, a<ξ<b, такая, что f’(ξ) = 0.

Доказательство. Если f(x) – постоянная на [a; b], то f’(x) = 0, ∀x ∈ (a; b).

Пусть теперь f(x) не является постоянной функцией. Непрерывная на отрезке [a;b] функция по теореме Вейерштрасса достигает в некоторых точках отрезка [a; b] наибольшего и наименьшего значений. Поскольку f(x) не является постоянной, то или или обязательно достигаются функцией во внутренней точке ξ отрезка [a; b].

По теореме Ферма f’(ξ) = 0.

Замечание 3. Геометрический смысл теоремы Ролля следующий: при выполнении условий теоремы внутри отрезка [a;b] обязательно найдется хотя бы одна точка ξ, такая, что касательная к графику f(x) в точке (ξ,f(ξ)) параллельна оси Ox.

Следствие 1 (Обобщенная теорема Ролля). Пусть функция f(x) n раз непрерывно дифференцируема на отрезке [a; b] и обращается в нуль в n + 1-й точке x₀, x₁, x₂,...,x_n этого отрезка. Тогда существует такое число ξ∈ (a;b), что f⁽ⁿ⁾(ξ) = 0.

Доказательство. Для простоты рассуждений ограничимся случаем n = 2, т.е. функция f(x) обращается в нуль в точках x₀, x₁, x₂. Для определенности будем считать, что x₀<x₁<x₂. Так как f(x₀) = f(x₁) = f(x₂) = 0, то по теореме Ролля существует ξ₁ ∈ (x₀; x₁), что f’ (ξ₁) = 0, и существует, ξ₂∈(x₁;x₂), что f’(ξ₂)=0. Итак, на концах отрезка [ξ₁;ξ₂] выполнено условие f’(ξ₁)=f’(ξ₂) = 0. По теореме Ролля на отрезке [ξ₁;ξ₂] существует точка ξ в которой f’’(ξ) = 0.