Теорема Ферма

Определение 1. Точка x₀∈ X называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x), а значение в ней локальным максимумом (минимумом), если существует окрестность V (x₀) точки x₀, такая, что ∀x ∈ V (x₀) имеем f(x)≤f(x₀) (f(x)≥f(x₀)).

Определение 2. Точка x₀∈X называется точкой строгого локального максимума (минимума) функции f(x), если существует проколотая окрестность (x₀) точки x₀, такая, что ∀x∈ (x₀) имеем f(x) <f(x₀) (f(x)>f(x₀)).

Определение 3. Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума, а значения функции в них - локальными экстремумами функции.

Заметим, что если x₀ точка строгого локального экстремума функции f(x), то приращение ∆f(x₀) = f(x₀ + ∆x) − f(x₀), ∀x ∈ (x₀) сохраняет знак.

Теорема 6 (Ферма). Пусть функция f(x) определена на интервале (a;b) и в некоторой точке x₀∈ (a; b) имеет локальный экстремум. Тогда, если в точке x₀ существует конечная производная f’(x₀), то f’(x₀) = 0.

Доказательство. Пусть для определенности в точке x₀ функция имеет локальный минимум, т.е. f(x)≥ f(x₀), ∀x ∈ V (x₀). Тогда в силу дифференцируемости функции f(x) в точке x₀ при x > x₀ получим

а при x < x₀ будем иметь

Эти неравенства имеют место одновременно лишь при

f’₊(x₀)=f’_-(x₀)=f’(x₀)=0.

Замечание 1. Геометрический смысл теоремы Ферма состоит в следующем: если точка x₀ ∈ (a; b) является точкой максимума или минимума функции и существует f’(x₀), то касательная, проведенная к графику функции в точке (x₀,f(x₀))параллельна оси Ox.

Замечание 2. Оба условия – интервал (a;b) и дифференцируемость функции в точке локального экстремума – обязательны для справедливости теоремы Ферма. Действительно, пусть f(x) = |x|, x∈ (−1;1). В точке x₀= 0 функция f(x) имеет локальный минимум, но в ней она не дифференцируема. В данном случае условие существования производной в точке локального минимума нарушено и поэтому теорема Ферма не имеет места.

Пусть теперь f(x) = x³, x∈ [−1;1]. В точке x₀ = 1 имеется краевой максимум, но f’(1)=3≠0. Теорема Ферма не применима в данном случае, поскольку x = 1 (−1;1).