![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определение 1. Точка x0∈ X называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x), а значение в ней локальным максимумом (минимумом), если существует окрестность V (x0) точки x0, такая, что ∀x ∈ V (x0) имеем f(x)≤f(x0) (f(x)≥f(x0)).
Определение 2. Точка x0∈X называется точкой строгого локального максимума (минимума) функции f(x), если существует проколотая окрестность (x0) точки x0, такая, что ∀x∈
(x0) имеем f(x) <f(x0) (f(x)>f(x0)).
Определение 3. Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума, а значения функции в них - локальными экстремумами функции.
Заметим, что если x0 точка строгого локального экстремума функции f(x), то приращение ∆f(x0) = f(x0 + ∆x) − f(x0), ∀x ∈ (x0) сохраняет знак.
Теорема 6 (Ферма). Пусть функция f(x) определена на интервале (a;b) и в некоторой точке x0∈ (a; b) имеет локальный экстремум. Тогда, если в точке x0 существует конечная производная f’(x0), то f’(x0) = 0.
Доказательство. Пусть для определенности в точке x0 функция имеет локальный минимум, т.е. f(x)≥ f(x0), ∀x ∈ V (x0). Тогда в силу дифференцируемости функции f(x) в точке x0 при x > x0 получим
а при x < x0 будем иметь
Эти неравенства имеют место одновременно лишь при
f’+(x0)=f’-(x0)=f’(x0)=0.
Замечание 1. Геометрический смысл теоремы Ферма состоит в следующем: если точка x0 ∈ (a; b) является точкой максимума или минимума функции и существует f’(x0), то касательная, проведенная к графику функции в точке (x0,f(x0))параллельна оси Ox.
Замечание 2. Оба условия – интервал (a;b) и дифференцируемость функции в точке локального экстремума – обязательны для справедливости теоремы Ферма. Действительно, пусть f(x) = |x|, x∈ (−1;1). В точке x0= 0 функция f(x) имеет локальный минимум, но в ней она не дифференцируема. В данном случае условие существования производной в точке локального минимума нарушено и поэтому теорема Ферма не имеет места.
Пусть теперь f(x) = x3, x∈ [−1;1]. В точке x0 = 1 имеется краевой максимум, но f’(1)=3≠0. Теорема Ферма не применима в данном случае, поскольку x = 1 (−1;1).
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 298 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!