Дифференциалы высших порядков

Пусть функция f:X → Y дифференцируема и df = f’(x)dx - ее дифференциал. Дифференциалом второго порядка называется дифференциал от дифференциала первого порядка, который обозначается d²f, то есть d²f = d(df). Дифференциал n-го порядка есть dⁿf = d(d^n-1f).

Если x – независимая переменная, а dx – постоянная (не зависит от x) и функция f имеет n производных, то, учитывая, что (dx)’=(dx)’’=…=(dx)⁽ⁿ⁾=0 последовательно находим: df=f’(x)dx, d²f=d(f’(x)dx)=(f’(x)dx)’dx=f’’(x)(dx)²=f’’(x)dx², …,

dⁿf=d(f^(n-1)(x)dx^n-1)=f⁽ⁿ⁾(x)dxⁿ.

Предположим теперь, что x есть некоторая функция параметра t, то есть x = ϕ(t), t∈T. Тогда f является сложной функцией f(ϕ (t)) и ее первый дифференциал, как известно, обладает свойством инвариантности формы. Покажем, что дифференциалы более высокого порядка в этом случае инвариантностью не обладают.

В самом деле, если x - независимая переменная, то d²f=f’’_xxdx².

Если же f = f(x), x = ϕ(t), то d²f=d(df)=d(f’_xdx)=df’_x^.dx+f’_x^.d(dx)=f’’_xxdx²+f’_xd²x,

что не совпадает с полученной выше формулой для d²f в случае независимой переменной.

Покажем, что если f и g принадлежат классу C (n)[ X ], то

.

Формулу док-ваем методом мат.индукции. итоговая формула

, где