Производные элементарных функций. а). Производная и дифференциал логарифмической функции

а). Производная и дифференциал логарифмической функции. Пусть y = log _a x, где a > 0,a 1. Тогда

y = log a (x + x) – log _a x = log _a(1 + ). Следовательно, по определению

y₀= = = log_a = log_ae= .Здесь воспользовались вторым замечательным пределом и непрерывностью логарифмической функции. Итак, y = log_ax⇒y₀= log_ae= ⇒dy = .

б). Производная и дифференциал степенной функции Пусть y =(u(x))^α, α∈R. Рассмотрим вначале случай, когда u(x) > 0. Если u(x) > 0, то lny = αlnu(x). Продифференцируем полученное равенство почленно по правилу дифференцирования сложной функции, считая y функцией от x: (lny)’ = (αlnu(x))’ ⇒ = ⇒dy = .

Пусть теперь u(x) < 0. Представим функцию y = (u(x))^α в виде (−1)^α (v(x))^α, где v(x) > 0. Тогда

y’= (−1)^αα(v(x))^α−1v’(x) = α(u(x))^α−1u’(x).

Итакy =(u(x))^α⇒y’= α(u(x))^α−1u’(x) ⇒dy = α(u(x))^α−1du(x).