![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Теорема 5 (О производной обратной функции). Пусть функции f: X→Y, f-1: Y→X взаимно обратны и непрерывны в точках x0∈X и f(x0) = y0∈Y соответственно. Если функция f(x) дифференцируема в точке x0 и f≠0, то функция f-1 также дифференцируема в точке y0, причем (f-1)’(y0)=1/f’(x0).
Доказательство. Из непрерывности f(x) в x0 и f-1в y0 можно заключить, что при x→x0, x∈X имеем y = f(x) → y0, y=f(x) ∈ Y и y=f(x)≠ y0, если x≠x0. Используя теперь теорему о пределе композиции функций и арифметические свойства предела, находим .
Таким образом, показано, что в точке y0 функция f−1: Y→X имеет производную и (f-1)’(y0)=1/f’(x0).
Замечание 1. Если бы заранее было известно, что функция f−1 дифференцируема в точке y0, то из тождества (f−1○f)(x) ≡ x по теореме о дифференцировании композиции функции сразу бы нашли, что (f−1)’ (y0)·f’(x0) = 1.
Замечание 2. Теореме можно дать геометрическую интерпретацию. Как известно, =tgα, где α – значение угла, образуемого касательной графика функции f(x) в точке (x0, y0) с положительным направлением оси Ox, тогда
, где β – значение угла, образованного той же касательной с осью Oy.
Действительно, поскольку β = −α, то
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 252 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!