Производная обратной функции. Теорема 5 (О производной обратной функции).Пусть функции f: X→Y, f-1: Y→X взаимно обратны и непрерывны в точках x0∈X и f(x0) = y0∈Y

Теорема 5 (О производной обратной функции). Пусть функции f: X→Y, f^-1: Y→X взаимно обратны и непрерывны в точках x₀∈X и f(x₀) = y₀∈Y соответственно. Если функция f(x) дифференцируема в точке x₀ и f≠0, то функция f^-1 также дифференцируема в точке y₀, причем (f^-1)’(y₀)=1/f’(x₀).

Доказательство. Из непрерывности f(x) в x₀ и f^-1в y₀ можно заключить, что при x→x₀, x∈X имеем y = f(x) → y₀, y=f(x) ∈ Y и y=f(x)≠ y₀, если x≠x₀. Используя теперь теорему о пределе композиции функций и арифметические свойства предела, находим .

Таким образом, показано, что в точке y₀ функция f⁻¹: Y→X имеет производную и (f^-1)’(y₀)=1/f’(x₀).

Замечание 1. Если бы заранее было известно, что функция f⁻¹ дифференцируема в точке y₀, то из тождества (f⁻¹○f)(x) ≡ x по теореме о дифференцировании композиции функции сразу бы нашли, что (f⁻¹)’ (y₀)·f’(x₀) = 1.

Замечание 2. Теореме можно дать геометрическую интерпретацию. Как известно, =tgα, где α – значение угла, образуемого касательной графика функции f(x) в точке (x₀, y₀) с положительным направлением оси Ox, тогда

, где β – значение угла, образованного той же касательной с осью Oy.

Действительно, поскольку β = −α, то