Правила вычисления производных. Теорема 3. Если функции f : X → R, g : X → Rдифференцируемы в точке x ∈ X, то

Теорема 3. Если функции f: X → R, g: X → Rдифференцируемы в точке x ∈ X, то

а) их сумма дифференцируема в x, причем(f+g)’(x)=(f’+g’)(x);

б) их произведение дифференцируемо в x, причем (f · g)’(x) = f’(x)g(x) + f(x)g’(x);

в) их отношение дифференцируемо в x, если g(x) 0, причем()‘(x) =

Следствие 1. Производная от линейной комбинации дифференцируемых функций равна линейной комбинации производных этих функций.

Следствие 2. Если функции f₁(x), f₂(x),..., f_n(x) дифференцируемы в точке x, то. (f₁ · f₂ ·... · f_n)’(x) = f’₁(x) · f₂(x) ·... · f_n(x) + f₁(x) · f’₂(x) ·... · f_n(x) +... + f₁(x) · f₂(x) ·... · f’_n(x).

Следствие 3. Из взаимосвязи производной и дифференциала следует, что теорема 3 может быть записана такжечерез дифференциалы, т.е.

а) d(f + g)(x) = df(x) + dg(x),

в) d(f · g)(x) = g(x) · df(x) + f(x) · dg(x);

с) d()(x) = , если g(x) 0.