Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Геометрический смысл производной и дифференциала. Физический смысл производной



Рассмотрим задачу о проведении касательной кпроизвольной плоской кривой. Пусть L – дуга плоской кривой, M0 –точка этой кривой, M0M – секущая. Если точка M движется по кривой к точке M0,то секущая поворачивается вокругточки M0 и стремится к некоторому предельному положению M0T. Определение 4. Касательной к кривой L в точке M0 называется прямая M0T, которая представляет собой предельноеположение секущей M0M при стремлении по кривой точки M к точке M0.Если предельного положения секущей не существует, то говорят, что в точке M0 провести касательную нельзя. Этобывает в случае, когда точка M0 является точкой излома или заострения кривой.Пусть кривая L является графиком функции f(x) и точка M0(x0, f(x0)) ∈ L. Предположим, что касательная ккривой в точке M0 существует. Угловой коэффициент секущей M0Mk = tg = . Если x → 0, то точка M движется по кривой к точке M0 и секущая M0M стремится к своему предельному положению M0T. Таким образом, k = tgα = = =f ’(x0). (1) т.е. если кривая L является графиком функции f(x), то из равенства (1) следует геометрический смысл производной: производная от функции f(x) при x = x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке с абсциссой x.Тогда уравнение касательной y − f(x0) = f’(x0)(x − x0)или y − y0 = f ’(x0)(x − x0) (2).Заметим, что в правой части уравнения (2) стоит дифференциал, поэтому геометрический смысл дифференциала состоит в следующем: дифференциал - это приращение ординаты касательной.физика:Рассмотрим функцию y = f(x), определенную и непрерывную в некоторой окрестности точки x0. Если аргумент x0функции получает приращение

x (положительное или отрицательное), такое, что x0+ x принадлежит той же окрестности точки x0, то соответствующее приращение функции f(x0) = f(x0 + x) − f(x0), средняя скорость измененияфункции vср = , а мгновенная скорость ее измененияv = =f ’(x0)В этом состоит механический смысл производной, т.е.производная -математическая модель мгновенной скоростипроцесса, описываемого функцией f(x). В зависимости от содержательной сущности функции можно получить широкийкруг математических моделей скорости протекания процессов. Рассмотрим некоторые из них.1. Пусть материальная точка M движется неравномерно и y = s(t) – функция, устанавливающая зависимость путиот времени t. Тогда мгновенная скорость движения в момент времени t0 есть производная от пути s по времени t:

v = |t=t0= =





Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 379 | Нарушение авторского права страницы



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.007 с)...