Понятия множества. Логические символы

Под множеством понимают совокупность определенных и отличных от других объектов, объединенных общим характерным признаком в единое целое.

Объекты или предметы, из которых состоит множество, называют элементами множества.

Множества и их элементы обозначают обычно буквами латинского алфавита: множества - прописными A, B, C,...,

их элементы - строчными a, b, c,... Если элемент a принадлежит множеству A, то пишут a ∈ A; если a не принадлежит множеству A, то пишут a ∈/ A.

При формулировке теорем и их доказательств часто приходится повторять отдельные слова и выражения. Чтобысократить записи, используют логические символы.

Квантор общности обозначается ∀, читается: «любой», «всякий», «каждый». С помощью квантора общности ∀

выражение «для любого x из множества M» можно записать: ∀x ∈ M.

Квантор существования обозначается ∃, читается: «существует», «найдется». С помощью квантора существования ∃ выражение «существует x, принадлежащее множеству M, такое, что...» записывают: ∃ x ∈ M:. Двоеточие означает«имеет место», «такое, что».

Символ логического следования ⇒, означает: «следует», «вытекает».

Символ эквивалентности ⇔ обозначает равносильность утверждений, расположенных по разные стороны от него

и читается: «тогда и только тогда, когда...», «равносильно», «необходимо и достаточно».

Например, выражение «для любого ε > 0 существует δ > 0, такое, что для всех x, отличных от x0 и удовлетворяющих

неравенству |x − x0| < δ, выполняется неравенство |f(x) − b| < ε» записывают в виде

∀ε > 0 ∃δ > 0:∀x ̸= x0 |x − x0| < δ ⇒ |f(x) − b| < ε.